振動力學基礎

1、1,振動力學基礎,人類生活在振動的世界里。振動在力學、聲學、電學、生物工程、自控等各領域都占有重要的地位。,? 振動的一般概念:某物理量在某數(shù)值附近作周期性變化,?? 機械振動：物體位置在一確定位置附近作往返運動稱為機械振動。,特點：,有平衡點，且具有重復性。,機械振動分類,（原因）自由、受迫、阻尼振動。,（規(guī)律）簡諧、非簡諧、隨機振動。,（位移）角振動、線振動。,其中簡諧振動是最基本的，存在于許多物理現(xiàn)象中。,復雜的振動都可以分

2、解為一些簡諧振動的疊加。,2,§1 簡諧振動動力學,一、簡諧振動的特征,x 可以是位移、電流、場強、溫度…,3,例1、如圖彈簧振子在BC間作簡諧運動，Ｏ為平衡位置，BC間距離是10 cm ，從Ｂ到Ｃ運動時間是１s，則（ ） Ａ．從Ｏ→Ｃ→Ｏ振子完成一個全振動 Ｂ．振動周期是１s，振幅是10 cm Ｃ．經(jīng)過兩次全振動，通過的路程是20 cm Ｄ．從Ｂ開始經(jīng)過５s，振子通過的路程是50 cm,D,4,

3、例2、一彈簧振子周期為２s，當它從平衡位置向右運動了1.8 s時，其運動情況是（ ） Ａ．向右減速 Ｂ．向右加速 Ｃ．向左減速 Ｄ．向左加速,B,例3、一質(zhì)點做簡諧運動，在t1和t2兩個時刻加速度相同，則在這兩個時刻，下列物理量一定相同的是 （ ）A、 位移 B、 速度 C、 動量

4、 D、 回復力,AD,5,二、簡諧運動的運動方程,6,3.簡諧振動的 x-t,v-t,a-t圖,,,,,,,7,三、簡諧振動的能量,我們以彈簧振子為例來討論簡諧運動的能量問題。設振動物體在任一時刻t 的位移為x ，速度為v ，于是它所具有的動能EK 和勢能EP 分別為,8,由起始能量求振幅,9,§2 簡諧振動運動學,簡諧運動的運動方程：,10,（2）頻率與圓頻率,,11,3

5、、相位和初相,12,例題 在一輕彈簧下端懸掛m0=100克砝碼時，彈簧伸,長8厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛m=250克的物體。將物體從平衡位置向下拉動4厘米并給予向上的21厘米/秒的初速度。選X軸向下，求振動的表達式。,13,例題 一個輕彈簧在60N的拉力作用下可伸長30cm。現(xiàn)將一物體,懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，他們的總質(zhì)量為4kg。待其靜止后再把物體向下拉10cm，然后無初速釋放。問（1）此小物體是停在振動物體上

6、面還是離開它？（2）若使放在振動物體上的小物體與振動物體分離，則振幅A須滿足何條件？二者在何位置開始分離？,,解：,14,4、簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法,,為了直觀地表明簡諧運動(正弦量)的三個特征量的物理意義，可以用一個旋轉(zhuǎn)矢量來表示簡諧運動。,（1）旋轉(zhuǎn)矢量的長度等于,15,旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動的對應關系,A,諧振動,旋轉(zhuǎn)矢量,?,? t+?,?,T,振幅,初相,相位,圓頻率,諧振動周期,半徑,初始角坐標,角坐標,角速度,園周運動周期,(

7、4）比較兩個諧振動的相位差,Φ2－φ1＝2kπ稱同相,Φ2－φ1＝（2k+1）π稱反相,π>Φ2－φ1>0稱2超前,π> φ1 － Φ2>0稱1超前,16,旋轉(zhuǎn)矢量確定初位相,17,例題：由諧振子能量推出振幅公式。,解：,結論：,例題：,1.A由系統(tǒng)能量決定；2.t=0的含義；3.x0、v0含義。,18,5、彈簧的串并聯(lián),思考1：等分n段，每段k0=?,思考2：n段串聯(lián)，等效k0=?,K0=nk,K0=k/n

8、,19,例題 一質(zhì)點在X軸上作簡諧振動，振幅A=4cm，周期,T=2s,其平衡位置取坐標原點。若t=0時刻質(zhì)點第一次通過x=-2cm處，且向X軸負方向運動，則質(zhì)點第二次通過x=-2cm處的時刻為（A）1s （B）（2/3）s （C）（3/4）s （D）2s,例題 一長度為l 的倔強系數(shù)為k的輕彈簧分割成l1和l2的兩部分，且l1=nl2則相應的倔強系數(shù)k1和k2為,20,例：已知某簡諧振動的 速度與時間的關系曲線如圖

9、所示，試求其振動方程。,解：設振動方程為,,21,,故振動方程為,22,§3微振動的簡諧近似,1.單擺,在角位移很小的時候，單擺的振動是簡諧振動。角頻率,振動的周期分別為：,單擺,當 時,擺球?qū)點的力矩,轉(zhuǎn)動定律,23,2.復擺（物理擺）是一剛體繞固定的水平軸在重力的作用下作微小擺動的動力運動體系,為m繞O點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。,總結：復擺小角度擺動振動的諧振動方程：,當

10、 時,振動的角頻率、周期完全由振動系統(tǒng)本身來決定。,繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體,24,§4平行簡諧振動的合成,一、同方向、同頻率的簡諧振動的合成,結論：,仍然是同頻率的簡諧振動,25,討論一：若兩個分振動同相,兩分振動相互加強,合振幅最大。稱為干涉相長,討論二：若兩個分振動反相,稱為干涉相消。,討論三：,一般情況：,A1=A2 時， A=0,26,例題 三個諧振動方程分別為,畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。

11、并在同一x-t坐標上畫出振動曲線。寫出合振動方程。,合振動方程X=0,27,二、同方向的N個同頻率簡諧振動的合成,設它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量。其表達式為：,在?OCP中：,矢量合成的多邊形法則,28,所以，合振動的表達式,上兩式相除得,29,討論1：,即各分振動同相位時，合振動的振幅最大。,當,討論2：,這時各分振動矢量依次相接，構成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零。,以上討論的多個分振動的合成在說明光的干涉和衍射規(guī)律時

12、有重要的應用。,當 且,30,三、同方向、不同頻率的簡諧振動的合成,利用：,合成振動表達式：,當 都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，它隨t緩變，合成振動是以 為角頻率的諧振動。,其振幅變化的周期由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以合振動可看

13、作振幅緩變的準簡諧振動它是近似的諧振動。這種合振動振幅忽強忽弱的現(xiàn)象稱為拍。,分振動：,31,單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)即合振幅變化的頻率叫拍頻,顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍。,余弦函數(shù)的絕對值是以pi為周期的,,32,拍 —— 合振動忽強忽弱的現(xiàn)象,拍頻 —— 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù),,33,§5 垂直簡諧振動的合成,設一個質(zhì)點同時參與了兩個振動方向相互垂直的

14、同頻率簡諧振動，即,上式是個橢圓方程，具體形狀由 相位差決定。,質(zhì)點的運動方向與 有關。當 時，質(zhì)點沿順時針方向運動；當 時，質(zhì)點沿逆時針方向運動。,當 時，橢圓退化為圓。,一、同頻率垂直簡諧振動的合成,質(zhì)點合振動的軌跡方程：,34,上式的推導：,

15、X=A1cos(ωt+φ1) Y=A2cos(ωt+φ2),改寫為：,兩邊平方，利用 cos α=X/A1,35,討論1,所以是在 直線上的振動。,合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內(nèi)的直線,質(zhì)點離開平衡位置的位移即,36,討論2,所以是在 - 直線上的振動。,合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內(nèi)的直線,質(zhì)點離開平衡位置的位移即,37,質(zhì)點沿

16、橢圓的運動方向是順時針的。,討論3,合成振動的軌跡為以X軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方程。,質(zhì)點的軌道是圓。,38,質(zhì)點沿橢圓的運動方向是逆時針的。,討論3,合成振動的軌跡為以X軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方程。,質(zhì)點的軌道是圓。,X和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。,39,討論5,則為任一橢圓方程。,綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進行（

17、直線是退化了的橢圓）。,40,41,二、垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成,兩分振動頻率相差很小,可看作兩頻率相等而Δ? 隨t 緩慢變化，合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，,合成運動的軌道是穩(wěn)定的封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。,一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。,42,用李薩如圖形在無線電技術中可以測量頻率：,在示波器上，垂直方向與水平方向同

18、時輸入兩個（信號）振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率。,43,,44,§6 、7 阻尼振動、受迫振動、共振,一.阻尼振動,阻尼振動微分方程,令,? 為阻尼因子,通解,45,1.欠阻尼振動------阻尼很小,通解,2.過阻尼振動------阻尼很大,通解,不能往復運動。,如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長時間。,46,3.臨界阻尼振動,通解,衰減函數(shù),臨界阻尼

19、達到平衡位置的時間最短，但仍不能超過平衡位置。,三種阻尼振動比較,,,,47,二.受迫振動,在阻尼振動中，要維持振動，外界需加一個周期的強迫力------策動力。,令,通解,48,第一項為阻尼振動項，當時間較長時衰減為0。,第二項為策動力產(chǎn)生的周期振動。,開始時運動比較復雜，當?shù)谝豁椝p為 0 后， 只作受迫振動，振動頻率為策動力的頻率。,振幅,初相,三.共振,49,例1、 一彈簧振子周期為２s，當它從平衡位置向右運動了1.8 s時，其

20、運動情況是（ ） Ａ．向右減速 Ｂ．向右加速 Ｃ．向左減速 Ｄ．向左加速,B,例2、一質(zhì)點做簡諧運動，在t1和t2兩個時刻加速度相同，則在這兩個時刻，下列物理量一定相同的是 （ ）A、 位移 B、 速度 C、 動量 D、 回復力,AD,50,

21、例3、在水平方向做簡諧振動的彈簧振子,當振子正經(jīng)過平衡位置O時,恰好有一塊橡皮泥從其上方落下,粘在振子上隨其一起振動,見圖.那么,前后比較,振子的 ( ). (A)周期變大,振幅不變 (B) 周期變大,振幅變小 (C) 周期變小,振幅變小 (D) 周期不變,振幅不變,B,51,例4、一質(zhì)點作簡諧運動，先后以相同的動量依次通過A、B兩點，歷時1s，質(zhì)點通過B點后再經(jīng)過1s又第二

22、次通過B點，在這2s時間內(nèi)，質(zhì)點通過的總路程為12cm，則質(zhì)點的振動周期和振幅分別為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A、3s,6cm B、4s,6cm C、4s,9cm D、2s,8cm,【B】,52,例5、一端固定于水平面上的豎直彈簧連著一塊質(zhì)量為M的薄板，板上放一質(zhì)量為m的小木塊(如圖).現(xiàn)使整個裝置在豎直方向作簡諧振動，振幅為A.若要求整個

23、運動過程中小木塊都不脫離薄板，問應選擇倔強系數(shù)κ值為多大的彈簧?,解：在最高點，m要不脫離木板，,對m，mg- N=ma N≥0 a ≤ g,對整體 (M+m)a=kA,k= (M+m)a/A≤ (M+m)g /A,53,例6、如圖所示，豎直懸掛的輕彈簧下端系著A、B兩球，其質(zhì)量mA=0.1kg、mB=0.5kg。 靜止時彈簧伸長15cm，若剪斷A、B間的細線，則A作簡諧運動時的振幅和最大加速度為多少？,解答：

24、由兩球靜止時的力平衡條件，得彈簧的勁度系數(shù)為：,54,=40N/m。剪斷A、B間細線后，A球靜止懸掛時的彈簧的伸長量為,彈簧下端的這個位置就是A球振動中的平衡位置。,懸掛B球后又剪斷細線，相當于用手把A球下拉后又突然釋放，剛剪斷細線時彈簧比靜止懸掛A球多伸長的長度就是振幅，即A=x-xA=15cm-2.5cm=12.5cm,振動中A球的最大加速度為,=50m/s2。,55,例7、在光滑的水平面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車，質(zhì)量為m的物體與

25、勁度系數(shù)為k的一輕彈簧固定相連．彈簧另一端與小車左端固定連接，將彈簧壓縮x0后用細繩將m 栓住，m靜止在小車上A點，，m與M 間的動摩擦因數(shù)為μ，O 點為彈簧原長位置，將細繩燒斷后，①當m位于O點左側還是右側且跟O點多遠時，小車的速度最大？并簡要說明理由．②判斷m與M的最終運動狀態(tài)是靜止、勻速運動還是相對往復的運動？,56,【解析】①在細線燒斷時，小球受水平向左的彈力F與水平向右的摩擦力f作用，開始時F必大于f．m相對小車右移過程中，彈

26、簧彈力減小，而小車所受摩擦力卻不變，故小車做加速度減小的加速運動．當F=f時車速達到最大值，此時m必在O點左側。設此時物體在O點左側x處，則kx=μmg。所以，當x＝μmg／k時，小車達最大速度．,②小車向左運動達最大速度的時刻，物體向右運動也達最大速度，這時物體還會繼續(xù)向右運動，但它的運動速度將減小，即小車和物體都在做振動．由于摩擦力的存在，小車和物體的振動幅度必定不斷減小，設兩物體最終有一共同速度v，因兩物體組成的系統(tǒng)動量守恒，且初

27、始狀態(tài)的總動量為零，故v=0，即m與M的最終運動狀態(tài)是靜止的,57,練習2、如圖所示，木塊的質(zhì)量為M，小車的質(zhì)量為m，它們之間的最大靜摩擦力為f，在倔強系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧作用下，沿水平地面做簡諧振動.為了使木塊與小車在振動中不發(fā)生相對滑動，則它們的振幅不應大于多少?,答：,58,練習3、一個質(zhì)點在平衡位置附近做簡諧振動,在圖的4個函數(shù)圖像中,正確表達加速度a與對平衡位置的位移x的關系應是( ).,D,59,練

28、習4、 一彈簧振子作簡諧運動，周期為T：A、若t時刻和(t+△t)時刻振子運動的位移大小相等、方向相同，則△t一定等于T的整數(shù)倍。B、若t時刻和(t+△t)時刻振子運動的速度大小相等、方向相反則△t一定等于T/2的整數(shù)倍。C、若△t=T，則在t時刻和(t+△t)時刻振子運動的加速度一定相等D、若△t=T/2，則在t時刻和(t+△t)時刻彈簧的長度一定相等,【C】,60,練習5、如圖所示，一彈簧振子在振動

29、過程中，經(jīng)a、b兩點的速度相同，若它從a到b歷時0．2s，從b再回到a的最短時間為0．4s，則該振子的振動頻率為（ ）,A、1Hz B、1.25Hz C、2Hz D、2．5Hz,B,61,解析：振子經(jīng)a、b兩點速度相同，根據(jù)彈簧振子的運動特點，不難判斷a、b兩點對平衡位置（O點）一定是對稱的，振子由b經(jīng)O到a所用的時間也是0．2s，由于“

30、從b再回到a的最短時間是0．4s，”說明振子運動到b后是第一次回到a點，且Ob不是振子的最大位移。設圖中的c、d為最大位移處，則振子從b→c→b歷時0．2s，同理，振子從a→d→a，也歷時0．2s，故該振子的周期T＝0．8s，根據(jù)周期和頻率互為倒數(shù)的關系，不難確定該振子的振動頻率為1．25Hz。 綜上所述，本題應選擇（B）。,62,【練習6】如圖所示，在質(zhì)量為M的無下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質(zhì)量均為m（M≥m）的D、B兩物體．箱

31、子放在水平地面上，平衡后剪斷D、B間的連線，此后D將做簡諧運動．當D運動到最高點時，木箱對地壓力為（ ）,A、Mg； B．（M－m）g；C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g,A,63,D物在運動過程中，能上升到的最大高度是離其平衡位移為A的高度，由于D振動過程中的平衡位置在彈簧自由長度以下mg／k處，剛好彈簧的自由長度處就是物D運動的最高點，說明了當D運動到最高點時，D對彈簧無作用力