《電動力學(xué)》第25講 §45 格林函數(shù)法

1、《電動力學(xué)》第13講,第二章 靜電場（5）§2.5 格林函數(shù)法教師姓名： 宗福建單位： 山東大學(xué)物理學(xué)院2016年10月25日,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,2,上一講復(fù)習(xí),拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分離變量法求出。先根據(jù)界面形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后在該坐標(biāo)系中由分離變量法解拉普拉斯方程。最常用的坐標(biāo)系有球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系。這里我們寫出用球坐標(biāo)系得出的通解形式（見附錄Ⅱ）。球坐標(biāo)用（R，θ，φ）

2、表示，R為半徑，θ為極角，φ為方位角。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,3,上一講復(fù)習(xí),拉氏方程在球坐標(biāo)系中的通解為式中anm,bnm,cnm和dnm為任意常數(shù)，在具體問題中有邊界條件定出。Pmn(cosθ)為締和勒讓德(Legendre)函數(shù)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,4,上一講復(fù)習(xí),若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢φ不依賴于方位角φ，這情形下通解為 Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù)，an和bn由邊界條件確定。

3、,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,5,上一講復(fù)習(xí),Pn（cosθ）為勒讓德函數(shù),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,6,上一講習(xí)題解答：,補充題：用分離變量法求解接地金屬球外一個點電荷的勢，和電像法相比較，并證明其兩個解是完全相同的。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,7,上一講習(xí)題解答：,由Q和鏡像電荷Q‘ 激發(fā)的總電場能夠滿足在導(dǎo)體面上φ= 0 的邊界條件。因此是空間中電場的正確解答。球外任一點P的電勢為，式中r為由Q到P點的距離，r' 為由

4、Q'到P點的距離，R為由球心O到P點的距離，θ為OP與OQ的夾角。,r’ r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,8,上一講習(xí)題解答：,如圖所示的球坐標(biāo)系，取球心為坐標(biāo)原點，球心到點電荷所在位置的連線為極軸，點電荷到球心的距離為a，空間任意一點P到點電荷的距離為r，到球心的距離為R，極角為θ。,r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,9,上一講習(xí)題解答：,由于電勢具有軸對稱性，考慮到無窮遠(yuǎn)處的電勢為0，泊松方程的解為：,r,P,山東大學(xué)

5、物理學(xué)院 宗福建,10,上一講習(xí)題解答：,在金屬球殼表面：,r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,11,上一講習(xí)題解答：,考慮到：,r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,12,上一講習(xí)題解答：,則：,r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,13,上一講習(xí)題解答：,則：,r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,14,上一講習(xí)題解答：,則：,r’ r,P,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,15,本講主要內(nèi)容,1、格林公式和邊值問題的解2、點電荷密度的δ函

6、數(shù)表示3、格林函數(shù)無界空間的格林函數(shù)上半空間的格林函數(shù)球外空間的格林函數(shù)4、例題,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,16,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,由§2.2 唯一性定理，設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，在V的邊界上S上給定（1）電勢φ | s 或 （2）電勢的法向?qū)?shù) ?φ /?n| s ，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界

7、面上滿足邊值關(guān)系，并在V的邊界S上滿足該給定的φ或?φ /?n值。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,17,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,對第1類邊值問題，給定電勢φ | s ，求V內(nèi)的勢：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有兩個函數(shù) φ（x） 和ψ（x），有格林公式，式中 n為界面S上的外向法線。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,18,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,格林公式的證明如下：,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,19,&

8、#167;2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,格林公式對任意函數(shù) φ（x）和ψ（x）都適用。取φ（x）滿足泊松方程， ψ（x）為格林函數(shù)，得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,20,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,21,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,22,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,只要知道格林函數(shù)G(x’,x)，以及在邊界上給定的

9、φ|S值，就可以算出區(qū)域內(nèi)的φ(x)，因而第1類邊值問題完全解決。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,23,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,對第2類邊值問題，給定電勢?φ/ ?n | s ，求V內(nèi)的勢：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有兩個函數(shù) φ（x） 和ψ（x），有格林公式，式中 n為界面S上的外向法線。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,24,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,格林公式對任意函數(shù) φ（x）和ψ（x）都適用。

10、取φ（x）滿足泊松方程， ψ（x）為無界空間單位點電荷的格林函數(shù)，得,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,25,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,滿足上式最簡單的邊界條件為：其中S是界面的總面積。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,26,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,其中S是電勢在界面上的平均值。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,27,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,只要知道格林函數(shù)G(x’,x)，以及在

11、邊界上給定的φ|S值，或者?φ/ ?n | s ，就可以算出區(qū)域內(nèi)的φ(x)，因而邊值問題完全解決。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,28,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,2、點電荷密度的δ函數(shù)表示 點電荷是電荷分布的極限情況，它可以看作一個體積很小而電荷密度很大的帶電小球的極限。若電荷分布于小體積ΔV內(nèi)，當(dāng)體積 ΔV→0 時，體積內(nèi)的電荷密度 ρ→∞ ，而保持總電荷不變，所謂點電荷就是這種電荷分布。,山東大學(xué)物理學(xué)院

12、 宗福建,29,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,2、點電荷密度的δ函數(shù)表示 處于 x' 點上的單位點電荷的密度用函數(shù)δ(x?x’) 表示,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,30,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) 一個處于 x’點上的單位點電荷所激發(fā)的電勢ψ(x)滿足泊松方程 設(shè)有包含 x’ 點的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上由邊界條件 解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類邊值問題的格

13、林函數(shù)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,31,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) 一個處于 x’點上的單位點電荷所激發(fā)的電勢ψ（x）滿足泊松方程 設(shè)有包含 x’點的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上滿足另一邊界條件 解稱為泊松方程在區(qū)域V的第二類邊值問題的格林函數(shù)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,32,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) 格林函數(shù)一般用G（x ，x'）表示，其中

14、x' 代表源點，即點電荷所在點， x 代表場點。格林函數(shù)所滿足的微分方程,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,33,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) （1）無界空間的格林函數(shù)。在 x’ 點上一個單位點電荷在無界空間中激發(fā)的電勢為式中r為源點 x' 到場點x的距離。因此，無界空間的格林函數(shù)為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,34,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) （1）

15、無界空間的格林函數(shù)。選電荷所在點 x’為坐標(biāo)原點，即 x’ = 0 。在求坐標(biāo)中，G（x ，0）= 1/4πε0r ，由直接計算得，G為無界空間的格林函數(shù)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,35,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) （2）上半空間的格林函數(shù) 一導(dǎo)體平面上任一點為坐標(biāo)原點，設(shè)點電荷Q所在點的坐標(biāo)為（x'，y'，z'），場點坐標(biāo)為（x，y，z），則r為由 x' 點到x

16、點的距離，r' 為由鏡象點 （x'，y'，?z'） 到場點的距離。上半空間格林函數(shù)為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,36,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù),山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,37,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) （3）球外空間的格林函數(shù)。 以球心O為坐標(biāo)原點。設(shè)電荷所在點 P’ 的坐標(biāo)為 （x’，y’，z’） ，場點P的坐標(biāo)為（x，y，z）

17、。令 則a對應(yīng)于R’，b對應(yīng)于R02/ R’ ，鏡象電荷所在點的坐標(biāo)為 (b/a)x’ = (R02/R’2）x' 。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,38,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) （3）球外空間的格林函數(shù)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,39,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,3、格林函數(shù) 式中α為x與x’的夾角。若P點的球坐標(biāo)為（R,θ,φ）， P’ 點的球坐標(biāo)為（R’,θ

18、’,φ’），有球外空間格林函數(shù) :,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,40,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,4、例 在無窮大導(dǎo)體表面上有半徑為a的圓，圓內(nèi)和圓外用極狹窄的絕緣環(huán)絕緣。設(shè)圓心電勢為V0，導(dǎo)體板其余部分電勢為0，求上半空間的電勢。解 以圓心為柱坐標(biāo)系原點，z軸與平板垂直，R為空間點到z軸的距離。x點的直角坐標(biāo)為 （R cosφ, R sinφ , z） ，x' 點的直角坐標(biāo)為 （R' cos

19、φ', R' sinφ' , z'） ，上半空間格林函數(shù)適用柱坐標(biāo)表出為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,41,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,42,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,上半空間格林函數(shù)適用柱坐標(biāo)表出為,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,43,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,因為在上半空間 ρ = 0 ，因此這問題是拉普拉斯方程第一類

20、邊值問題。上半空間的電勢為積分面S是 z' = 0的無窮大平面。法線沿 ? z' 方向。先計算格林函數(shù)的法向?qū)?shù)。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,44,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,由于S上只有圓內(nèi)部分電勢不為零，因此式中的積分只需對 r ≤ a 積分。,山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建,45,§2.5 格林（GREEN）函數(shù)法,當(dāng) R 2 +z 2 >> a 2 時，可以把被積分函數(shù)