數(shù)學(xué)研究課題---空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

1、1數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)研究課題課題空間幾何體的外接球與內(nèi)切球幾何體的外接球與內(nèi)切球問題問題例1用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，Rcmr241?兩截面間的距離為，求球的表面cmr152?cmd27?積分析：分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形，利用方程思想計算可得解：解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，2211BABA上述大圓的垂直于的直徑交于，如11BA2211BABA

2、21OO圖2設(shè)，則，解得2211dOOdOO?????????????2222222121152427RdRddd25?R)(2500422cmRS?????體說明：說明：通過此類題目，明確球的有關(guān)計算問題需先將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解例2自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求RMMCMBMA的值222MCMBMA??分析：分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放

3、在一個封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：解：以為從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個長MCMBMAABCM?方體，則另外四個頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑=?222MCMBMA??224)2(RR?說明：說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計算例3試比較等體積的球與正方體的表面積的大小分析：分析

4、：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系解：解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，raV3解：解：∵棱錐底面各邊相等，∴底面是菱形∵棱錐側(cè)棱都相等，∴側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓∴底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐過該棱錐對角面作截面，設(shè)棱長為，則底面對角線，aaAC2?故截面是等腰直角三角形SAC又因?yàn)槭乔虻拇髨A的內(nèi)接三角形，所以，即SACRAC2?

5、Ra2?∴高，體積RSO?33231RSOSV???底說明：說明：在作四棱錐的截面時，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對稱截面（過棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形可見，解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個關(guān)鍵解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長（或高或某個截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解例6在球面上有四

6、個點(diǎn)、、、，如果、、兩兩互相垂直，且PABCPAPBPC求這個球的表面積aPCPBPA???分析：分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑24RS??球面R解：解：設(shè)過、、三點(diǎn)的球的截面半徑為，ABCr球心到該圓面的距離為，d則222drR??由題意知、、、四點(diǎn)不共面，因而是以這四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐PABC（如圖所示）的外接圓是球的截面圓ABCP?ABC?由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又PAPBPCPABCOABC?，aPC