克拉默法則

1、第五節(jié) 克萊姆(Cramer)法則,1、克萊姆法則2、重要定理3、小結及思考題,2,克萊姆悖論(Cramer’s paradox ),1744 年 9 月 30 日 Cramer 在給 Euler 的信中提出 9 個點唯一地確定 一條3次曲線 二條三次曲線相交于9個點（Bozout定理）；,克萊姆悖論：上述兩個結論不能同時成立,Euler解答：1748 年， Euler 發(fā)表題為 “

2、關于曲線規(guī)律中的一個明顯的矛盾 ”,矛盾的源頭， 9 個點不見得能唯一地確定出三次曲線的方程,3,曲線上的 9 個點雖然給出了 9 個不同的方程，但有時它們并不能唯一地解出那 9 個未知數(shù)，因為有些方程是廢的，如,一個強大的數(shù)學新工具——線性代數(shù)——由此誕生,克萊姆（Gabriel Cramer，1704.07.31─1752.01.04）瑞士數(shù)學家,4,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,對三元線性方程組,5,則三元線性方程組有唯

3、一解為:,6,設線性方程組,則稱此方程組為非,齊次線性方程組;,此時稱方程組為齊次線性方程組.,非齊次與齊次線性方程組的概念,7,一、克萊姆法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,8,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解可以表為,9,二、重要定理,定理1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式

4、 則(1)一定有解,且解是唯一的 .,定理2 如果線性方程組 無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,10,齊次線性方程組的相關定理,定理3　 如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組 只有零解.,11,有非零解.,系數(shù)行列式,,12,例1 用克萊姆法則解方程組,解,13,14,15,例2 用克萊姆法則解方程組,解,16,17,1

5、8,解,齊次方程組有非零解，則,所以 或 時齊次方程組有非零解.,19,1. 用克萊姆法則解方程組的兩個條件,(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);,(2)系數(shù)行列式不等于零.,2. 克萊姆法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關系.它主要適用于理論推導.,三、小結,20,思考題,當線性方程組的系數(shù)行列式為零時,能否用克萊姆法則解方程組?為什么?此時方程組的解為何?

6、,21,思考題解答,不能,此時方程組的解為無解或有無窮多解.,22,作業(yè),P26: 5(2)(4)P31: 5P32: 7(1), 10P33: 13(2),23,補充1：行列式的幾何意義,二階行列式的幾何意義； 三階行列式的幾何意義,24,補充2：Shamir密鑰共享方案,將密鑰k按下述方式分成n個共享已知任意t個 值易算出k；已知任意t-1個或更少個 ，則由于信息短缺而不能決定出k。,?隨機地選取一個t-

7、1次多項式 使得該多項式的常數(shù)項恰為密鑰k,即 ；?任意選取n個互不相同的非零數(shù) ，計算?將 分別分配給n個共享用戶，銷毀多項式f(x)（從而也銷毀了密鑰k）；,,25,重構密鑰：任取t個共享，不妨設為,,,,由,得,其中 看作未知量。該線性方程組的系數(shù)行列式,,