第七章平穩(wěn)時間序列預測法

1、7 平穩(wěn)時間序列預測法,7.1 概述7.2 時間序列的自相關分析7.3 單位根檢驗和協(xié)整檢驗7.4 ARMA模型的建模,回總目錄,7.1 概 述,時間序列 取自某一個隨機過程，則稱：,一、平穩(wěn)時間序列,過程是平穩(wěn)的——隨機過程的隨機特征不隨時間變化而變化,過程是非平穩(wěn)的——隨機過程的隨機特征隨時間變化而變化,,回總目錄,回本章目錄,寬平穩(wěn)時間序列的定義：,設時間序列,，對于任意的t,k和m，滿

2、足：,則稱 寬平穩(wěn)。,回總目錄,回本章目錄,Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計預測方法。 他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、 預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統(tǒng)方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結構 化的建模方法，并且具有統(tǒng)計上的完善性和牢固的理 論基礎。,ARMA模型是描述平穩(wěn)隨機序列的最常用的一種模型；,回總目錄,回本章目錄,ARM

3、A模型三種基本形式： 自回歸模型（AR：Auto-regressive）； 移動平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。,回總目錄,回本章目錄,如果時間序列 滿足 其中 是獨立同分布的隨機變量序列,且滿足： 則稱時間序列 服從p階自回歸模型。,二、自回歸模型,回總目錄,回本章目錄,自

4、回歸模型的平穩(wěn)條件：,滯后算子多項式,的根均在單位圓外，即,的根大于1。,回總目錄,回本章目錄,如果時間序列 滿足則稱時間序列 服從q階移動平均模型。 或者記為 。平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。,,三、移動平均模型MA(q),回總目錄,回本章目錄,四、ARMA(p,q)模型,如果時間序列,滿足：,則稱時間序列 服從(p,q)階自回歸移動平均模型。,或者記為

5、：,回總目錄,回本章目錄,q=0，模型即為AR(p)； p=0，模型即為MA(q)。,ARMA(p,q)模型特殊情況：,回總目錄,回本章目錄,例題分析,設,，其中A與B,為兩個獨立的零均值隨機變量，方差為1；,為一常數(shù)。,試證明：,寬平穩(wěn)。,回總目錄,回本章目錄,證明：,均值為0，,只與t-s有關，所以寬平穩(wěn)。,回總目錄,回本章目錄,7.2 時間序列的自相關分析,自相關分析法是進行時間序列分析的有效方 法，它簡單易行,

6、較為直觀，根據(jù)繪制的自 相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初 步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。 利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性 和平穩(wěn)性，以及時間序列的季節(jié)性。,一、自相關分析,回總目錄,回本章目錄,（1）自相關函數(shù)的定義,滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為：,則自相關函數(shù)為：,其中,回總目錄,回本章目錄,當序列平穩(wěn)時，自相關函數(shù)可寫為：,（2）樣本自相關函數(shù),其中,回總目錄,回本章目錄,樣本自相關

7、函數(shù)可以說明不同時期的數(shù) 據(jù)之間的相關程度，其取值范圍在-1到 1之間，值越接近于1，說明時間序列的 自相關程度越高。,回總目錄,回本章目錄,（3）樣本的偏自相關函數(shù),是給定了,的條件下，,與滯后k期時間序列之間的條件相關。,定義表示如下：,,其中，,回總目錄,回本章目錄,時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關系的特征。使用自相關分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則：,若時間序列的自相關函數(shù)基本上都落

8、入 置信區(qū)間，則該時間序列具有隨機性； 若較多自相關函數(shù)落在置信區(qū)間之外， 則認為該時間序列不具有隨機性。,回總目錄,回本章目錄,判斷時間序列是否平穩(wěn)，是一項很重要的工作。運用自相關分析圖判定時間序列平穩(wěn)性的準則是：,若時間序列的自相關函數(shù)在k>3時都落入置 信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩(wěn)性；若時間序列的自相關函數(shù)更多地落在置信區(qū) 間外面，則該時間序列就不具有平穩(wěn)性。

9、,回總目錄,回本章目錄,二、ARMA模型的自相關分析,AR(p)模型的偏自相關函數(shù)是以p步截尾的，自 相關函數(shù)拖尾； MA(q)模型的自相關函數(shù)具有q步截尾性，偏 自相關函數(shù)拖尾； （可用以上兩個性質來識別AR和MA模型的階數(shù)） ARMA(p,q)模型的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)都 是拖尾的。,回總目錄,回本章目錄,7.3 單位根檢驗和協(xié)整檢驗,一、單位根檢驗,利用迪基—福勒檢驗（ D

10、ickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩榮檢驗（Philips-Perron Test），也可以測定時間序列的隨機性，這是在計量經(jīng)濟學中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的是，后一個檢驗方法主要應用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關的情況。,回總目錄,回本章目錄,（1）隨機游動,如果在一個隨機過程中， 的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即,隨機過程,滿足：,其中,獨立同分布，并且：,稱這個隨

11、機過程是隨機游動。它是一個非平穩(wěn)過程。,回總目錄,回本章目錄,（2）單位根過程,設隨機過程,滿足：,其中,為一個平穩(wěn)過程并且,回總目錄,回本章目錄,（3） 協(xié)整關系,如果兩個或多個非平穩(wěn)的時間序列，其某個 線性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時間序 列間就被稱為有協(xié)整關系存在； 這是一個很重要的概念，我們利用Engle- Granger兩步協(xié)整檢驗法和Johansen協(xié)整檢驗 法可以測定時間序列間

12、的協(xié)整關系。,回總目錄,回本章目錄,7.4 ARMA模型的建模,一、模型階數(shù)的確定,（1）基于自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)的定階方法,對于ARMA(p,q)模型，可以利用其樣本的自相關函數(shù)和樣本偏自相關函數(shù)的截尾性判定模型的階數(shù)。,回總目錄,回本章目錄,具體方法如下：,對于每一個q,計算,….,（M 取,為 或者 ），考察其中滿足,或者,的個數(shù)是否占M個的68.3%或者95.5%。如果,， 都明顯地異于零，而,(轉下頁),回

13、總目錄,回本章目錄,….,均近似于零，并且滿足,上述不等式之一的,的個數(shù)達到其相應的比,例，則可以近似地判定,是 步截尾，平,穩(wěn)時間序列,為,。,,,,,,,回總目錄,回本章目錄,類似，我們可通過計算序列,其中滿足,，考察,或者,是否占M個的68.3%或者95.5%。即可以近似,的個數(shù),地判定,是 步截尾，平穩(wěn)時間序列,為,。,回總目錄,回本章目錄,如果對于序列,和,截尾，即不存在上述的,來說，均不,和,判定平穩(wěn)時間序列,，則可以,

14、為ARMA模型。,回總目錄,回本章目錄,（2）基于F 檢驗確定階數(shù)（3）利用信息準則法定階（AIC準則和BIC準則）,此外常用的方法還有：,回總目錄,回本章目錄,二、模型參數(shù)的估計,（1）初估計,AR(p)模型參數(shù)的Yule-Walker估計,特例：一階自回歸模型AR(1)：,二階自回歸模型AR(2)：,回總目錄,回本章目錄,MA(q)模型參數(shù)估計,特例：,一階移動平均模型MA(1)：,二階移動平均模型MA(2)：,回總目錄,回本章

15、目錄,ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計,由于模型結構的復雜性，比較困難，有幾種方法可以進行。一般利用統(tǒng)計分析軟件包完成。,回總目錄,回本章目錄,（2）精估計,ARMA(p,q)模型參數(shù)的精估計，一般 采用極大似然估計，由于模型結構的復 雜性，無法直接給出參數(shù)的極大似然估 計，只能通過迭代方法來完成，這時， 迭代初值常常利用初估計得到的值。,回總目錄,回本章目錄,三、ARMA(p,q)序列預報,設平穩(wěn)時間序列,是一個AR

16、MA(p,q),過程，則其最小二乘預測為：,AR(p)模型預測,回總目錄,回本章目錄,ARMA(p,q)模型預測,其中：,回總目錄,回本章目錄,預測誤差,預測誤差為：,步線性最小方差預測的方差和預測步長 有關, 而與預測的時間原點t無關。預測步長越大，預測誤差的方差也越大，因而預測的準確度就會降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長期預測模型。,回總目錄,回本章目錄,預測的置信區(qū)間,預測的95%置信區(qū)間：,回總目錄,回本章目錄

17、,例題分析,設,為一AR(2)序列，,其中,。,求,的自協(xié)方差函數(shù),。,? 例 1,回總目錄,回本章目錄,解答：,Yule-Walker方程為：,,,,,,,,,即：,,回總目錄,回本章目錄,且：,聯(lián)合上面三個方程，解出：,,回總目錄,回本章目錄,? 例 2,考慮如下AR(2) 序列：,若已知觀測值,（1）試預報,（2）給出（1）預報的置信度為95%的預報區(qū)間,回總目錄,回本章目錄,解答：,（1）,（2）,預報的置信度為95%的預報區(qū)間