多孔及變形介質(zhì)中混溶及非混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)值方法.pdf

1、若地層形變會(huì)明顯地影響這些油田動(dòng)態(tài)的特征，若開(kāi)發(fā)不當(dāng)，會(huì)釀成極其不良的結(jié)果，油井產(chǎn)能急劇地下降且無(wú)法恢復(fù)。對(duì)于介質(zhì)具有變形性質(zhì)的異常高壓深層油藏，其開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)方法也不同于常規(guī)油藏，特別是由于其滲流規(guī)律的非線性，使得不能應(yīng)用現(xiàn)行的液氣滲流理論和油田開(kāi)發(fā)理論來(lái)分析地層壓力的動(dòng)態(tài)。 實(shí)驗(yàn)研究表明[3，63]，變形介質(zhì)的滲透率隨地層壓力的變化程度是孔隙度的5～15倍，因此在高壓作用下，滲透率的變化是非常大的，在礦場(chǎng)計(jì)算中不能忽略滲透率的變

2、化，而目前，多數(shù)礦場(chǎng)計(jì)算中，都假定滲透率是一個(gè)常數(shù)，地層參數(shù)中只有孔隙度隨壓力呈線性變化，這顯然與實(shí)際情況不符，往往會(huì)造成大的誤差,甚至得到面目全非的結(jié)果。我們需要將一般的多空介質(zhì)模型進(jìn)行修正來(lái)描述變形介質(zhì)中不可壓縮流體驅(qū)動(dòng)問(wèn)題。在文獻(xiàn)[3]中，提出了描述變形介質(zhì)油藏的滲流方程及開(kāi)發(fā)的某些方法。文獻(xiàn)[3，4，5]對(duì)變形介質(zhì)中非線性一彈性滲流理論進(jìn)行了研究，討論了變形介質(zhì)油藏開(kāi)發(fā)的特征進(jìn)行。在本文，我們把變形介質(zhì)中流體驅(qū)動(dòng)模型的巖石孔隙度

3、及滲透率視為壓力的函數(shù)進(jìn)行處理。在論文的前部分采用有限差分方法研究了變形介質(zhì)中的一維、二維混溶及非混溶驅(qū)替問(wèn)題。多孔介質(zhì)中流體驅(qū)動(dòng)問(wèn)題通常涉及到對(duì)流占優(yōu)的擴(kuò)散問(wèn)題。對(duì)于解決對(duì)流占優(yōu)的擴(kuò)散問(wèn)題特征線法被證明是行之有效的[6-7，2，9-19]。誤差估計(jì)以及數(shù)值實(shí)驗(yàn)顯示這種方法可以應(yīng)用大時(shí)間劃分，避免或減少通常的數(shù)值難題。特征線法結(jié)合有限元法參見(jiàn)文獻(xiàn)[6，9]。由于對(duì)流占優(yōu)的擴(kuò)散問(wèn)題涉及到隨時(shí)間變化的如水驅(qū)前沿的的局部激烈變化現(xiàn)象。所以可以

4、進(jìn)一步結(jié)合變網(wǎng)格有限元方法來(lái)處理[20]。這種方法可以動(dòng)態(tài)的加密或稀疏網(wǎng)格調(diào)整基函數(shù)。數(shù)值結(jié)果證明這種方法對(duì)于解決這類問(wèn)題是有效的[21-31]。 混合有限元法已在許多文獻(xiàn)中有報(bào)道。這種方法可以同時(shí)得到解及其梯度?？紤]到混合有限元方法的優(yōu)勢(shì)，以及特征有限元和變網(wǎng)格有限元方法在解決對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題優(yōu)勢(shì)。我們可以結(jié)合這幾種方法來(lái)討論多空介質(zhì)對(duì)流占優(yōu)的混流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題。． 在近來(lái)的幾年里，陸續(xù)出現(xiàn)了一系列的文章來(lái)研究用最小二乘方法分析

5、不可壓縮流體驅(qū)替問(wèn)題[32-34]。這種方法與混合有限元方法一樣，能同時(shí)得到函數(shù)本身與通量的相同階的逼近，而不需要通過(guò)后處理計(jì)算函數(shù)逼近解梯度，然而，混合元方法所導(dǎo)致的代數(shù)問(wèn)題是一般不對(duì)稱正定的，這增加了代數(shù)求解的難度，另一方面混合元空間還必須滿足Ladyzhenskaya BabtJska Brezzi(LBB)[35]相容性條件，這給逼近空間的選取帶來(lái)了一定的限制性。在文[36]中，作者已經(jīng)明確指出，最小二乘混合元方法可以克日艮這些

6、不足，它不需要滿足LBB條件，因此可以靈活地選取逼近空間，甚至可以分別取不同階多項(xiàng)式逼近函數(shù)及其通量，而且最后得到的代數(shù)方程是對(duì)稱正定的，便于進(jìn)行預(yù)條件迭代處理。 本文后部分將分別采用最小二乘有限元、特征有限元、變網(wǎng)格有限元方法討論了多孔介質(zhì)的—類驅(qū)替問(wèn)題。 作者在山大期間，對(duì)金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，從事了一點(diǎn)金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究。在本文最后一章，作者討論了一類在投資選擇問(wèn)題中產(chǎn)生的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。 全文共分五章。

7、 第一章討論了變形介質(zhì)中不可壓縮流體的混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題。第一節(jié)針對(duì)一維問(wèn)題，提出了變形介質(zhì)中混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的有限差分格式，并給出了收斂性分析。第二節(jié)在第一節(jié)基礎(chǔ)上推廣到二維問(wèn)題，給出了簡(jiǎn)要的分析。第二章討論了變形介質(zhì)中兩相不可壓縮流體一維非混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，提出了變形介質(zhì)中兩相不可壓縮流體一維非混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的離散格式，并給出了誤差估計(jì)。這些研究結(jié)果已投稿。 第三章結(jié)合變網(wǎng)格和特征有限元方法來(lái)處理多孔介質(zhì)中可混溶流體驅(qū)動(dòng)模型問(wèn)題。提出

8、了動(dòng)態(tài)網(wǎng)格特征混合有限元格式，并給出了收斂性分析。這些研究結(jié)果已發(fā)表在核心期刊《山大學(xué)報(bào)》(理學(xué)版)。 第四章研究了不可壓縮混流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的全離散最小二乘混合元方法。該章利用最小二乘混合元方法逼近壓力方程，而用全離散標(biāo)準(zhǔn)Galakin方法逼近濃度方程，通過(guò)引進(jìn)橢圓投影進(jìn)行誤差分析，最后得到最優(yōu)誤差估計(jì)。這些研究結(jié)果已投稿。 附章作為獨(dú)立的一章研究了一類在投資選擇問(wèn)題中產(chǎn)生的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，應(yīng)用經(jīng)典的凸變分技術(shù)得到了局部必