奇異積分中幾類(lèi)經(jīng)典算子及其相關(guān)算子的若干問(wèn)題.pdf

1、本文主要研究的是Marcinkiewicz積分，奇異積分和分?jǐn)?shù)次積分及其交換子的有界性問(wèn)題.全文共六章.首先我們簡(jiǎn)單回顧歷史研究這些算子的背景和相關(guān)的方法，從而提出本文要考慮的問(wèn)題， 1Marcinkiewicz積分和Marcikiewicz積分交換子 1.1Marcinkiewicz積分 眾所周知Littlewood-Paleyg函數(shù)，g*λ函數(shù)及Lusin面積S函數(shù)在調(diào)和分析和偏微分方程等領(lǐng)域起著非常重要的作

2、用.1938年，J.Marcinkiewicz[41]考慮如下Marcinkiewicz積分算子：μ(f)(x)=(∫2π0|F(x+t)+F(x-t)-2F(x)|2/t3dt)1/2,x∈[0,2π]其中F(x)=∫x0f(t)dt.1958年，Stein[57]把Marcinkiewicz積分推廣到高維情形.設(shè)Ω是零次齊次并且滿(mǎn)足如下Lipα(0＜α≤1)條件：即，設(shè)Ω是Rn中的單位球面∑上的連續(xù)函數(shù)并且滿(mǎn)足|Ω(x')-Ω(y'

3、)|≤C|x2'-y'|α，(A)x'，y’∈∑.又設(shè)Ω滿(mǎn)足消失性條件∫Sn-1Ω(x')dσ(x')=0.(1.1.1)定義高維Marcinkiewicz積分算子為μΩ(f)(x)=(∫∞0|FΩ,t(f)(x)|2/t3dt)1/2，其中FΩ,t(f)(x)=∫|x-y|≤tΩ(x-y)/|x-y|n-1f(y)(dy).stein證明了當(dāng)Ω滿(mǎn)足Lipα條件時(shí)，μΩ是Lp有界(1≤p＜2)并且也是弱(1，1)型.自Stein的開(kāi)創(chuàng)性

4、工作后，關(guān)于Marcinkiewicz積分，特別是具有粗糙核的Marcinkiewicz算子的研究，涌現(xiàn)一大批著名的結(jié)果，詳見(jiàn)[10]-[13]，[27]，[28]，[33]，[38]等等. 二十世紀(jì)六十年代以來(lái)，Campanato空間已成為研究橢圓型和拋物型偏微分方程解的正則性的重要工具(見(jiàn)[8]，[31]，[26]等).因此研究相關(guān)算子在Campanato空間有界性問(wèn)題是很有意義的事情.1960年，L.H(o)rmander

5、[38]首先定義和研究了參數(shù)型的Marcinkiewicz積分的LP有界性.1999年，Sakamoto和Yabuta[66]考慮了參數(shù)型的廣義Marcinkiewicz積分，定義如下：設(shè)Ω∈L1(sn-1)是Rn上的零次齊次函數(shù)，B是Rn中的單位球.取φ(x)=Ω(x)|x|-n+pxB(x)，且Ω滿(mǎn)足(1.1.1)，則μpS和μ*,pλ定義為：μps(f)(x)=(∫∫Γ(x)|φ*f(y)2dydt/tn+1|)1/2=(∫∫Γ(

6、x)||1/tp∫|y-x|≤Ω(y-x)|y-z|n-pf(z)dz|2dydt/tn+1)1/2,和μ*,pλ(f)(x)=(∫∫Rn+1(t/t+|x-y|λn)|φ*f(y)|2dydt/tn+1)1/2=(∫∫Rn+1(t/t+|x-y|)λn|1/tp∫|y-z|≤tΩ(y-z)/|y-z|n-pf(z)dz|2dydt/tn+1)1/2其中φ(x)=1/tnφ(x/t)，Γ(x)={(t，y)∈Rn+1+：|x-y|＜t}

7、及λ＞)1. 下面給出Campanato空間的定義：稱(chēng)一個(gè)局部可積函數(shù)f(z)屬于空間εα,p(Rn),其中l(wèi)≤p<∞，-∞＜α＜1.如果f滿(mǎn)足‖f‖α,p=supQ1/|Q|a/n(∫Q|f(y)-fQ|pdy)q/p＜∞.其中上確界是對(duì)Rn中所有與坐標(biāo)軸平行的方體所取的，fQ表示f在方體Q上的平均.即，fQ=q/|Q|∫Qf(x)dx.當(dāng)0＜α＜1時(shí)，則εα,p(Rn)=Lipα(Rn)且兩者具有相同的范數(shù)；若α=0，則ε,

8、p(Rn)恰好就是BMO(Rn)；若-n/p≤α＜0，則ε,p(Rn)和Morrey空間Lp,n+pα(Rn)是等價(jià)的. 稱(chēng)Ω滿(mǎn)足Lq-Dini條件，如果Ω是Rn中的零次齊次函數(shù)，Ω(x)∈Lq(sn-1)且滿(mǎn)足∫10ωq(δ)/δdδ＜∞,(1.1.2)其中ω(δ)=sup|p|≤δ(∫Sn-n|Ω(px)-Ω(x)|qdt)1/q，而p是Rn上的旋轉(zhuǎn)且|p|=supx'∈Sn-n|px'-x'|.與此相關(guān)的所謂的”Dini”