耦合擴(kuò)張映射與混沌.pdf

1、在離散動(dòng)力系統(tǒng)混沌理論的發(fā)展過程中，A.Sharkovskii的令人驚訝的發(fā)現(xiàn)與T.Li和J.Yorke引入混沌概念的著名工作極大促進(jìn)了混沌理論的研究.在此之后，出于對(duì)問題的研究角度的不同，人們逐漸提出了一些新的混沌定義，比如Devaney混沌，Wiggins混沌等等.人們開始研究滿足什么條件的映射是在Li-Yorke或者Devaney意義下混沌，即建立某種意義下混沌的判定定理，并探討各種混沌定義之間的聯(lián)系與差異，對(duì)于連續(xù)區(qū)間映射，即從

2、區(qū)間到自身的連續(xù)映射，已得到了一些很好的結(jié)果，如拓?fù)鋫鬟f性可以導(dǎo)致Devaney意義下混沌；正的拓?fù)潇嘏cDevaney意義下混沌等價(jià)，同時(shí)能夠?qū)е翷i-Yorke意義下混沌；在特定條件下，零拓?fù)潇乜梢詫?dǎo)致Li-Yorke意義下混沌].所以，對(duì)區(qū)間映射而言，Devaney意義下混沌強(qiáng)于Li-Yorke意義下混沌.例如，黃文和葉向東證明了在一定條件之下緊度量空間上Devaney意義下混沌蘊(yùn)含Li-Yorke意義下混沌.對(duì)于緊空間上的連續(xù)滿射

3、，F(xiàn).Blanchard等人證明了正的拓?fù)潇乜蓪?dǎo)致Li-Yorke意義下混沌。 在離散動(dòng)力系統(tǒng)理論的研究過程中，耦合擴(kuò)張映射（coupled-expandingmap，又稱馬蹄映射）曾經(jīng)被許多數(shù)學(xué)家用不同的方法研究過，對(duì)連續(xù)區(qū)間映射，M.Misiurewicz證明了：對(duì)于具有正拓?fù)潇氐膮^(qū)間映射，存在有限次正向迭代使得迭代后的映射是嚴(yán)格耦合擴(kuò)張，并且這種獲得嚴(yán)格耦合擴(kuò)張的迭代方式有無限多種.L.Block，J.Guckenheim

4、er，M.Misiurewicz和L.Young證明了廣義A-耦合擴(kuò)張連續(xù)區(qū)間映射的拓?fù)潇厥遣恍∮诰仃嘇的最大特征值的對(duì)數(shù)值.L.Block與W.Coppel在研究連續(xù)區(qū)間映射的過程中引入了turbulentmap的概念（即后來改稱的耦合擴(kuò)張映射），并詳細(xì)討論了這種映射與周期點(diǎn)、拓?fù)潇?、符?hào)動(dòng)力系統(tǒng)、混沌等諸多概念之間的聯(lián)系.對(duì)于連續(xù)區(qū)間映射，S.Ruette系統(tǒng)地總結(jié)了混沌研究的重要結(jié)果，其中包括許多關(guān)于耦合擴(kuò)張映射的討論。史玉明和陳

5、關(guān)榮證明了在完備度量空間中有界閉集或度量空間緊集上的嚴(yán)格耦合擴(kuò)張映射在距離擴(kuò)張的條件下與單邊符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)涔曹?這些重要的研究工作都極大地加深了人們對(duì)于這類映射的性質(zhì)的認(rèn)識(shí).度量空間上耦合擴(kuò)張映射的概念是由史玉明和陳關(guān)榮提出的。最近，這個(gè)概念被推廣到了關(guān)于轉(zhuǎn)移矩陣的耦合擴(kuò)張.為了敘述上的方便，本文統(tǒng)一采用這個(gè)概念.值得一提的是，耦合擴(kuò)張理論可以應(yīng)用到由返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)所導(dǎo)出的混沌動(dòng)力學(xué)行為的研究中去.返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)最早是由F.Marot

6、to提出并研究的。 在動(dòng)力系統(tǒng)理論中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究一直被許多數(shù)學(xué)家所關(guān)注.動(dòng)力系統(tǒng)起源于H.Poincaré對(duì)天體運(yùn)行問題的研究.之后，在1892年，A.Liapunov提出了著名的Liapunov第一和第二方法，其中第二方法對(duì)研究微分方程的穩(wěn)定性問題產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，后來，G.Birkhoff發(fā)展了H.Poincare的思想.微分動(dòng)力系統(tǒng)所研究的主要對(duì)象是光滑流形上的微分同胚.稱一個(gè)定義在光滑流形上的微分同胚是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定

7、的，如果存在這個(gè)同胚的C1拓?fù)溧徲?，使得在這個(gè)鄰域中的微分同胚都與給定的微分同胚拓?fù)涔曹棧@個(gè)概念最早是由A.Andronov和L.Pontrjagin在1937年給出的（但他們最初沒有使用“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定”這個(gè)名字）“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定”這個(gè)名字是S.Lefschetz在翻譯A.Andronov和S.Khaikin的俄文著作時(shí)引入的。M.Peixoto將A.Andronov和L.Pontrjagin的工作進(jìn)行了推廣.S.Smale在研究高維微分同胚的

8、過程中提出了著名的公理A系統(tǒng).J.Palis和S.Smale猜測(cè)公理A系統(tǒng)再加上強(qiáng)橫截性條件與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定是等價(jià)的，在J.Robbin，C.Ronbinson，R.Mané，S.Hayashi，和S.Hu等人的工作基礎(chǔ)上，這個(gè)猜想已經(jīng)得到了證實(shí)。 研究混沌動(dòng)力系統(tǒng)的擾動(dòng)問題或結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題是非常有意義的。實(shí)際應(yīng)用中的系統(tǒng)會(huì)受到許多外界因素的干擾.如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，在實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡就可能和理論結(jié)果相差很大.一個(gè)有意義的問

9、題是：A-耦合擴(kuò)張映射在經(jīng)過微小擾動(dòng)之后是否仍然為A-耦合擴(kuò)張映射、是否仍然是混沌的？目前還沒有文獻(xiàn)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行研究.本文對(duì)混沌的A-耦合擴(kuò)張映射的擾動(dòng)問題進(jìn)行了初步探討，利用耦合擴(kuò)張理論給出混沌多項(xiàng)式映射的幾種構(gòu)造方法。 本文主要討論三個(gè)方面的問題：一是討論在什么條件下嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射可以導(dǎo)致混沌；二是耦合擴(kuò)張映射的擾動(dòng)問題；三是構(gòu)造混沌多項(xiàng)式映射，針對(duì)這三個(gè)問題，全文分為三章。 第一章主要研究了定義在完備度量空

10、間或者度量空間緊子集上的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射，其中A是不可約轉(zhuǎn)移矩陣且某一行元素之和不小于2.第二節(jié)對(duì)矩陣A進(jìn)行詳細(xì)討論，得到了一個(gè)關(guān)于符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的新結(jié)果.最近，史玉明、陳關(guān)榮、郁培等人利用符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)建立了幾個(gè)關(guān)于嚴(yán)格耦合擴(kuò)張映射的混沌判定定理，如（1）定義在完備度量空間中有界非空閉集上的嚴(yán)格耦合擴(kuò)張映射在一定條件下是在Li-Yorke和Wiggins意義下混沌；進(jìn)一步，如果耦合擴(kuò)張映射在其中某個(gè)閉集上按距離擴(kuò)張，則映射在Li-Yo

11、rke和Devaney意義下混沌；（2）對(duì)于度量空間中緊子集上的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射，如果映射在每個(gè)緊子集上按距離擴(kuò)張，則映射在Li-Yorke和Devaney意義下混沌；（3）定義在完備度量空間中非空有界閉集上的滿足特定條件的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射是在Li-Yorke和Devaney意義下混沌.在前人工作的基礎(chǔ)上，本文在第一章第三節(jié)對(duì)嚴(yán)格耦合擴(kuò)張進(jìn)行了深入討論，將上述結(jié)果進(jìn)行了推廣，減弱了相關(guān)的條件，即（1）定理1.3.1和1.3.2證

12、明了對(duì)一般的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射文獻(xiàn)[51]中定理3.1和3.2中的相應(yīng)結(jié)論仍成立；（2）定理1.3.2減弱了文獻(xiàn)[50]定理5.2中要求映射在每個(gè)緊子集上按距離擴(kuò)張這個(gè)條件；（3）定理1.3.3將文獻(xiàn)[50]定理5.6中關(guān)于特殊的轉(zhuǎn)移矩陣的耦合擴(kuò)張映射的結(jié)果推廣到關(guān)于更一般的轉(zhuǎn)移矩陣的耦合擴(kuò)張映射。L.Block與W.Coppel證明了如果連續(xù)區(qū)間映射是在兩個(gè)非退化緊區(qū)間上的嚴(yán)格耦合擴(kuò)張，則此映射在一個(gè)緊的不可數(shù)的不變集上與兩個(gè)符號(hào)的

13、全轉(zhuǎn)移拓?fù)浒牍曹?S.Ruette進(jìn)一步證明了該映射是混合的，對(duì)初始條件敏感依賴，并且具有稠密周期點(diǎn)。本文在第一章第四節(jié)討論了緊區(qū)間上的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射，得到的命題1.4.1和命題1.4，2推廣了Block與Coppel和Ruette的上述結(jié)果.另外，該節(jié)所得定理1.4.2將楊曉松和唐云的結(jié)果推廣到度量空間中緊子集上的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射.為了說明第三節(jié)中得到的結(jié)論，第五節(jié)討論了一個(gè)具體的例子并給出計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證. 在第二章

14、中，主要研究歐氏空間中嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射的Cr擾動(dòng)問題，其中r=0或者1，A是不可約轉(zhuǎn)移矩陣且某一行元素之和不小于2.在第三節(jié)，證明了一類滿足特定條件的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射在C1小擾動(dòng)后仍然在Li-Yorke意義下混沌.證明了兩類定義在歐氏空間中局部凸緊集上的嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射在C1小擾動(dòng)后仍然在Li-Yorke和Devany意義下混沌.另外，還證明了兩類嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射在其混沌不變集上是C1結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。在第四節(jié)中，應(yīng)用Brou

15、wer度理論，證明了一類嚴(yán)格A-耦合擴(kuò)張映射在C0擾動(dòng)后仍然在Li-Yorke意義下混沌，第五節(jié)討論了一個(gè)平面映射的例子以說明第四節(jié)所得到的結(jié)果. 在第三章中，使用耦合擴(kuò)張理論構(gòu)造了幾類混沌多項(xiàng)式映射，并證明了得到的映射是在Li-Yorke和Devaney意義下混沌.在第三節(jié)中，應(yīng)用耦合擴(kuò)張理論，建立了在給定的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式前面乘上滿足某些條件的二次多項(xiàng)式可以構(gòu)造出在Li-Yorke和Devaney意義下混沌的多項(xiàng)式映射的方法；證

16、明了在具有兩個(gè)不同的非負(fù)實(shí)零點(diǎn)或者兩個(gè)非正實(shí)零點(diǎn)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的前面乘上滿足某些條件的參數(shù)可以使映射在Li-Yorke和Devaney意義下混沌，所得定理3.3.1在相對(duì)弱的條件下得到了文獻(xiàn)中定理3.1的部分結(jié)果；所得定理3.3.2推廣了文獻(xiàn)中定理4.1的結(jié)果.第四節(jié)應(yīng)用插值的方法構(gòu)造多項(xiàng)式來逼近一類滿足某些特定條件的混沌映射，證明了當(dāng)逼近誤差足夠小時(shí)所構(gòu)造的多項(xiàng)式映射是在Li-Yorke和Devaney意義下混沌.第五節(jié)對(duì)一類具體的混