有限群的共軛類長(zhǎng)及廣義正規(guī)子群.pdf

1、長(zhǎng)期以來，共軛類的某些數(shù)量性質(zhì)與有限群的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系是有限群論研究的重要課題之一。許多群論學(xué)者都參與了這一課題的研究，而且獲得了大量的研究成果，這為有限群理論的發(fā)展起到了強(qiáng)有力的推動(dòng)作用。在共軛類的眾多的數(shù)量性質(zhì)中，有關(guān)共軛類長(zhǎng)與共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)的研究非?；钴S。本文則主要是圍繞以下兩方面的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行： I．某些元素的共軛類長(zhǎng)具有某種特定的數(shù)量性質(zhì)的有限群。 II.某些元素的共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)是定數(shù)與整個(gè)有限群的結(jié)構(gòu)之間

2、的關(guān)系。 目前人們對(duì)問題I的研究主要有兩種途徑：其一是通過減少元素的共軛類個(gè)數(shù)；其二是力圖研究某些元素的共軛類長(zhǎng)是更為一般的數(shù)的情形。作為這兩種研究途徑的繼續(xù)，在本文中我們嘗試著把一些與I相關(guān)的已有結(jié)果作了一定的推廣，具體來說，在第三章中，我們對(duì)素?cái)?shù)冪階p'-元的共軛類長(zhǎng)是無平方因子數(shù)，無立方因子數(shù)或者P-數(shù)的有限群的結(jié)構(gòu)做了一定的描述，其中，p是一個(gè)素?cái)?shù)；而在第六章中我們則研究了當(dāng)有限群中所有元素的共軛類長(zhǎng)是無立方因子數(shù)時(shí)群的

3、結(jié)構(gòu)。 眾所周知，對(duì)于II的研究，人們首先研究了所有的元素的共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)是定數(shù)的有限群；后來又研究了p-正則元的共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)是定數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的p-補(bǔ)的結(jié)構(gòu)；近來，人們又開始對(duì)研究素?cái)?shù)冪階元的共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)足定數(shù)的有限群產(chǎn)生了極大的興趣。從這些研究中我們可以發(fā)現(xiàn)，如何有效地減少共軛類的個(gè)數(shù)是人們對(duì)II這一問題研究的關(guān)鍵所在。 我們知道素?cái)?shù)冪階元是群中最基本的元素，而雙素?cái)?shù)階元和三素?cái)?shù)階元足僅比素?cái)?shù)冪階元稍微復(fù)雜一點(diǎn)的元素

4、。在本文中我們就是利用這三種元素的共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)來研究整個(gè)群的結(jié)構(gòu)，這是減少共軛類個(gè)數(shù)的有效手段之一，也是本博士學(xué)位論文的核心內(nèi)容。具體地來講，第四章主要研究了素?cái)?shù)冪階元、雙素?cái)?shù)階元和三素?cái)?shù)階元的共軛類長(zhǎng)的個(gè)數(shù)等于2或4時(shí)的群的結(jié)構(gòu)，從而推廣了Ito的關(guān)于具有兩個(gè)或四個(gè)共軛類長(zhǎng)的有限群的相應(yīng)結(jié)果；在第五章中，我們則詳細(xì)刻畫了具有三個(gè)特殊共軛類長(zhǎng)的有限群的結(jié)構(gòu)，部分地推廣了Ito的關(guān)于三個(gè)共軛類長(zhǎng)的有限群的相應(yīng)結(jié)果。 從以上有關(guān)共