若干發(fā)展方程的譜方法和譜元法.pdf

1、譜方法是求解偏微分方程的重要數(shù)值方法。它的主要優(yōu)點(diǎn)是高精度，這使得該方法能夠與有限差分、有限元一起而成為偏微分方程的三大數(shù)值方法之一。它的缺點(diǎn)是不能靈活地適應(yīng)復(fù)雜的計(jì)算區(qū)域，從而阻礙了它的廣泛應(yīng)用和發(fā)展。解決的辦法之一就是將問(wèn)題所在的區(qū)域分解成若干子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域上使用譜方法。這種技巧通常叫做譜元法。 當(dāng)針對(duì)具體的問(wèn)題建立了譜(元)方法的數(shù)值格式以后，格式的誤差分析就非常重要。關(guān)于譜方法和譜元法的誤差分析已經(jīng)有大量的工作，但

2、豐滿的最優(yōu)的收斂階估計(jì)并不很多，尤其對(duì)于非線性問(wèn)題，好的結(jié)果更少。本文就致力于若干個(gè)發(fā)展方程的譜(元)方法，討論其誤差分析，即格式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性(收斂階)。特別關(guān)注的是非線性問(wèn)題以及收斂階的最優(yōu)估計(jì)。 本文的主要工作為： 首先對(duì)五階KdV方程建立了Legendre-Petrov-Galerkin譜方法，該方法是三階KdV方程建立的Legendre-Petrov．Galerkin譜方法[64]的自然推廣。證明了該格式

3、的數(shù)值穩(wěn)定性以及收斂性。結(jié)論表明，收斂階是最優(yōu)的。 其次，討論了一維情形的對(duì)流-耗散方程的譜元法。證明了該方法的收斂性與穩(wěn)定性，并給出了收斂階的很好的估計(jì)。另外，由于譜元法中區(qū)域的分解，算法的并行化顯得更為重要。根據(jù)算法的特點(diǎn)，描述了數(shù)值實(shí)驗(yàn)中并行化的過(guò)程，數(shù)值例子也驗(yàn)證了方法的有效性。 再次，對(duì)于二維的線性Schrdinger方程，空間上采用譜元法，時(shí)間上采用Crank-Nicolson離散得到的全離散格式，證明了格式

4、在L<'2>以及H<'1>意義下的穩(wěn)定性和收斂性，得到了最優(yōu)的收斂階估計(jì)。為了計(jì)算上的簡(jiǎn)化，利用算子分裂，將交替方向方法應(yīng)用于格式設(shè)計(jì)，并證明了交替方向的譜元方法在L<'2>以及H<'1>意義下的穩(wěn)定性和收斂性。同樣得到的收斂階也是最優(yōu)的。 接著，對(duì)一類非經(jīng)典非線性拋物型方程建立了Legendre譜方法的Galerkin離散格式，推導(dǎo)了格式的穩(wěn)定性，得到了收斂階估計(jì)．同時(shí)也給出了Chebyshev擬譜格式和Chebyshev-L

5、egendre擬譜格式，進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)．在這類方程數(shù)值求解的研究中，嘗試應(yīng)用譜方法。理論結(jié)果和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，這種應(yīng)用是很成功的。 最后，對(duì)于無(wú)界區(qū)域上的Burgers方程，給出了一種穩(wěn)定化的Hermite譜方法。該方法首次直接使用Hermite多項(xiàng)式作為基函數(shù)來(lái)逼近問(wèn)題的解，解決了格式的數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題，并得到了格式最優(yōu)的收斂階估計(jì)，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了理論的正確性。 接著討論了擬譜方法以及混合的Hermite譜方法。在整個(gè)誤差