宇宙學(xué)中的若干精確可解模型.pdf

1、Einstein方程的精確解在引力理論中有重要的作用。隨著近年來(lái)宇宙學(xué)的發(fā)展，具有宇宙學(xué)意義的Einstein方程的精確解是一個(gè)值得研究的方向。這類解一般有如下特點(diǎn)，一方面是含有有宇宙常數(shù)或與宇宙常數(shù)行為接近的成分，另一方面是要考慮到宇宙不是Einstein流形，因?yàn)橛钪媸呛形镔|(zhì)的，可以用理想流體來(lái)描述。作為標(biāo)準(zhǔn)宇宙學(xué)模型的宇宙常數(shù)-冷暗物質(zhì)（ACDM）模型是以Friedmann-Robertson-Walker（FRW）度規(guī)和理想流

2、體為基礎(chǔ)的，已經(jīng)得到大量觀測(cè)數(shù)據(jù)的支持。額外維和膜宇宙的圖景促進(jìn)了高維Einstein方程的精確解的發(fā)展，宇宙學(xué)要求4維時(shí)空應(yīng)作為高維時(shí)空的一個(gè)子流形。本文主要尋找一些有較強(qiáng)概括力的精確解，并發(fā)現(xiàn)多個(gè)精確解之間的關(guān)系。
　　 在第一章中，通過(guò)一個(gè)推廣的物態(tài)方程，將ACDM模型的理想流體推廣為更一般的粘滯流體。這個(gè)推廣基于一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)，物態(tài)方程p=-p0結(jié)合Friedmann方程即可得到ACDM模型。推廣的物態(tài)方程可以統(tǒng)一描述理

3、想流體項(xiàng)、粘滯效應(yīng)和宇宙常數(shù)，并且此時(shí)的Friedmann方程有精確解，這個(gè)解概括了很多文獻(xiàn)中的已經(jīng)得到過(guò)的解。出現(xiàn)這個(gè)解的原因是一個(gè)Riccati變量代換可以把此時(shí)的Friedmann方程線性化。
　　 在第二章中，考慮了更一般的情況，即物態(tài)方程參數(shù)和宇宙常數(shù)都可以是尺度因子的函數(shù)，對(duì)Riccati變量代換進(jìn)行了更一般的推廣，并提出了對(duì)應(yīng)的Hamilton形式。這個(gè)只含一個(gè)廣義坐標(biāo)的無(wú)約束Hamilton系統(tǒng)給出Friedma

4、nn方程作為其運(yùn)動(dòng)方程，描寫(xiě)了一個(gè)可變質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。推廣后的非線性變換對(duì)應(yīng)Hamilton形式中的一個(gè)正則變換，經(jīng)過(guò)這個(gè)正則變換后，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化成固定質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在另外一個(gè)勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)框架下，作為一個(gè)具體的例子，ACDM模型對(duì)應(yīng)于一個(gè)（倒）諧振子。這個(gè)Hamilton形式可以進(jìn)一步推廣到有粘滯性的情況，上述的非線性變換揭示了精確解出現(xiàn)的原因。
　　 在第三章中，求出并研究了一個(gè)5維Einstein方程的精

5、確解，這個(gè)解描寫(xiě)的是把FRW宇宙作為理想流體嵌入5維Einstein時(shí)空，此時(shí)FRW宇宙是5維Einstein時(shí)空中的一個(gè)4維超曲面。這個(gè)解具有很強(qiáng)的一般性，含有兩個(gè)任意函數(shù)和3個(gè)常數(shù)，賦予這些任意函數(shù)和常數(shù)以特定的形式可以得到多種宇宙演化的方式。這個(gè)5維解揭示了很多其它5維解之間的內(nèi)在聯(lián)系：（1）這個(gè)解在一定邊界條件下的特解就是Randall-Sundrum模型中的一個(gè)解；（2）這個(gè)解可以從5維拓?fù)浜诙唇?jīng)過(guò)坐標(biāo)變換得到，但是在其它維這

6、種坐標(biāo)變換不能顯式地寫(xiě)出來(lái)，這是這個(gè)精確解出現(xiàn)的第一個(gè)原因；（3）這個(gè)解的假設(shè)可以從5維Lemaitre-Tolman-Bondi度規(guī)通過(guò)Wick轉(zhuǎn)動(dòng)得到；（4）這個(gè)解在宇宙常數(shù)趨于零的情況下化為L(zhǎng)iu-Mashhoon-Wesson解。這些解之間的關(guān)系從多個(gè)角度印證了Gauss正交坐標(biāo)系下的5維Einstein時(shí)空有很強(qiáng)的特殊性。如果5維的宇宙常數(shù)是正的，那么度規(guī)周期性地依賴于額外維，因此可以自然地把額外維緊化到S1上。在Gauss正