圖論與拓撲、圖論與代數(shù)交叉問題的案例研究.pdf

1、在數(shù)學科學內(nèi)部，不同學科分支之間思想和方法相互交叉、彼此滲透是數(shù)學科學發(fā)展的一大重要趨勢；本文圍繞這一中心思想，選取圖論與拓撲、圖論與代數(shù)的交叉問題作為主要案例，嘗試以一些典型問題作個案分析，從歷史發(fā)展觀的角度，對每個問題采用時序分析，遵循思想演繹規(guī)律，探討了這種交叉融合發(fā)展到一定程度將導(dǎo)致重大發(fā)現(xiàn)，甚至交叉學科的產(chǎn)生；指出交叉問題的歷史研究對闡明數(shù)學的發(fā)展規(guī)律有特殊意義；同時筆者認為，這種通過數(shù)學內(nèi)部的因素——交叉問題來分析數(shù)學學科發(fā)

2、展的動力，是數(shù)學史研究中的一個新的分析方向。 在具體內(nèi)容上，全文共分四部分，其中第一部分從多面體公式到歐拉一龐加萊示性數(shù)，考察了這一過程是怎樣超越了度量觀念，又是如何朝向拓撲發(fā)展的；第二部分介紹從Guthrie問題到Hadwiger猜想的思想演變，考察了染色問題的兩條發(fā)展路線；一方面由于曲面拓撲特征的考慮，從而導(dǎo)致著色數(shù)理論的形成，對拓撲圖論的發(fā)展起著重要的里程碑意義；另一方面剖析了Wagner定理引發(fā)Hadwiger提出著名猜

3、想的關(guān)鍵性因素，首次指出“縮圖”(Graph Minor)的引入開拓了研究染色問題的新視角，從而使染色問題得到進一步區(qū)分和一般化。這兩部分均屬于圖論與拓撲交叉問題的范例；第三部分介紹回路的代數(shù)化思想，闡述了在回路基礎(chǔ)集構(gòu)造方面，代數(shù)工具和代數(shù)方法不斷深入的過程，以及這個過程如何促使惠特尼最早引入了擬陣(1935年)。第四部分從最簡單的圖——樹及其早期計數(shù)開始描述，直到波利亞計數(shù)定理的提出，這是一個與置換群的思想相聯(lián)系的理論，為進一步研究