兩類橢圓偏微分方程的解與多重解.pdf

1、這篇碩士論文主要研究了兩類橢圓偏微分方程的解與多重解，主要運(yùn)用了變分方法的基本方法，如極小極大原理，山路引理等． 在第一章中我們回顧本文所討論問(wèn)題的背景． 在第二章中，運(yùn)用極限指標(biāo)，我們證明了幾個(gè)定理，這些定理可以應(yīng)用于求強(qiáng)不定的非光滑泛函臨界點(diǎn)的無(wú)窮多解，然后我們把這些定理應(yīng)用在一個(gè)p-Laplacian方程組其中Ω是一個(gè)有界區(qū)域，這個(gè)方程組所對(duì)應(yīng)的泛函未必是光滑的．我們得到了方程組(S)的無(wú)窮多弱解． 在第三

2、章中，考慮一類擬線性Schrodinger方程-△u-△(｜u｜2)u+V(x)u=h(u)，u ∈H1(RN)．(3.1.1)的解．運(yùn)用山路引理和對(duì)偶的方法，我們得到方程(3.1.1)的一個(gè)非平凡解． 這篇碩士學(xué)位論文主要研究了兩類橢圓偏微分方程的解與多重解． 在第1章引論中主要介紹論文的研究背景． 在第2章中考慮如下橢圓方程組多重解的存在性，(其中F：F(x，s，t)，F(xiàn)s= F/ s，F(xiàn)t= F/ t，)．

3、 這一類方程組所對(duì)應(yīng)的泛函是強(qiáng)不定泛函，無(wú)法應(yīng)用山路定理來(lái)證明其含有臨界點(diǎn)．文獻(xiàn)[27]中作者應(yīng)用極限指標(biāo)定理考慮這一類方程組的無(wú)窮多解的問(wèn)題，但在[27]中要求泛函屬于C1，這一章中對(duì)[27]中的極限指標(biāo)定理進(jìn)行推廣，并把它應(yīng)用于求解這一方程組所對(duì)應(yīng)的泛函為連續(xù)的情況時(shí)的多重解問(wèn)題． 第2章分為五個(gè)部分，第一部分對(duì)研究這一問(wèn)題的背景進(jìn)行介紹．第二部分回顧了極限指標(biāo)的一些定義．第三部分得出了運(yùn)用于連續(xù)泛函的形變引理．第四

4、部分運(yùn)用第三部分得到的形變引理得到兩個(gè)應(yīng)用在連續(xù)泛函上的抽象的臨界點(diǎn)定理，如下：定理2.4.1.若(f1)-(f5)(見(jiàn)第2章)成立，i∞是關(guān)于i的極限指標(biāo)．令Ck=inf supf(x)，i∞(A)≥kx∈A其中A∈∑．假如f滿足(PS)c及關(guān)于(Xn)的(PS)*c條件.若c=ck有限，則它是f的臨界值．更進(jìn)一步地，若存在某些p≥0滿足c=ck=…=ck+p，則i(Kc)≥p+1．定理2.4.2．若(f1)-(f8)(見(jiàn)第2章)成立

5、．如果i∞是關(guān)于i的極限指標(biāo)，則ci=inf supf(x),-k+1≤j≤-m i∞(A)≥jx∈A是f的臨界值，且ε1≤c-k+1≤…≤c-m≤ε2，更進(jìn)一步地，若c=cι=…=cι+r，r≥0，貝i(Kc)≥p+1． 最后一部分將得到的臨界點(diǎn)定理應(yīng)用在求解方程組(S)的多重弱解上，得到定理： 定理2.5.7.假設(shè)F滿足(F1)-(F4)(見(jiàn)第2章)，其中μ=r+1，則方程組(S)具有一列無(wú)界的(在E和L∞(Ω)X

6、L∞(Ω)中)弱解．在第3章中主要研究方程-△u-△(｜u｜2)u+V(x)u=h(u)，u ∈H1(Rn)．(3.1.1)在文獻(xiàn)[9]中V(x)滿足V ∈C(RN,R)，(VO)зVo>0使V(x)≥V0>0，A X ∈RN，(V1)limx→∞ v(x)=V∞，V(x)≤V∞，A x ∈RN． 本文進(jìn)行推廣，考慮比(V1)更一般的情形：(V2)зV1>0使V(x)≤V1，A x ∈RN． 并對(duì)h(s)∈C(R+,R)

7、提出以下條件：(h0)lim｜x｜h(s)/s=0，(h1)存在P，當(dāng)N=1，2時(shí)，10使｜h(s)｜≤C(1+｜s｜p)，A s ∈R，(h2)зμ>4使A s>0，0<μH(s)≤h(s)s． 第3章分為三個(gè)部分，第一部分對(duì)背景進(jìn)行介紹，第二部分研究函數(shù)的性質(zhì)，第三部分尋找方程的古典解． 第3章所得到的主要定理為定理3.1.2在(V0)，(V2)，(h0)-(