極大-加代數(shù)上形式多項(xiàng)式的除法運(yùn)算與編碼的線性碼.pdf

1、極大—加代數(shù)是一個(gè)具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值的代數(shù)系統(tǒng).
　　多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中基本的研究對(duì)象之一.極大—加線性系統(tǒng)理論不斷發(fā)展和完善，而極大—加代數(shù)上多項(xiàng)式理論鮮見(jiàn)研究.帶余除法是數(shù)論和多項(xiàng)式論中的一個(gè)重要方法，在Euclid除法、因式分解、求解多項(xiàng)式方程、有理函數(shù)分解中扮演著重要角色.本文將研究極大—加代數(shù)上多項(xiàng)式的除法運(yùn)算和帶余除法.在此基礎(chǔ)上，本文還將首次研究極大—加代數(shù)上編碼的線性碼.
　　首先，我們研究極大—加代數(shù)

2、上形式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)之間的關(guān)系，證明在形式多項(xiàng)式冪等代數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)冪等代數(shù)之間存在一個(gè)賦值同態(tài).其次，我們研究凹形式多項(xiàng)式的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)任一凹形式多項(xiàng)式具有全支集.然后，我們引入極大—加代數(shù)上形式多項(xiàng)式可除、商式和余式的概念，并給出可除的一些性質(zhì).我們利用凹形式多項(xiàng)式具有全支集的特性及其相鄰項(xiàng)系數(shù)之差的單調(diào)性，研究2次凹形式多項(xiàng)式與次數(shù)小于2的形式多項(xiàng)式的帶余除法，分別給出2次凹形式多項(xiàng)式除以1次形式多項(xiàng)式的商式和余式存在的充分必要

3、條件，商式和余式唯一的充分必要條件，以及商式和余式的求法.
　　凹形式多項(xiàng)式的帶余除法對(duì)于研究極大—加代數(shù)上多項(xiàng)式函數(shù)的帶余除法有著特別的意義.利用賦值同態(tài)的性質(zhì)，我們證明:如果兩個(gè)凹形式多項(xiàng)式可除，那么它們所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式函數(shù)可除.利用2次凹形式多項(xiàng)式除以1次形式多項(xiàng)式的商式和余式的計(jì)算公式，我們可計(jì)算任一2次多項(xiàng)式函數(shù)除以1次多項(xiàng)式函數(shù)的商式和余式.另一方面，我們還舉例說(shuō)明，當(dāng)兩個(gè)凹形式多項(xiàng)式不可除時(shí)，它們所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式函數(shù)也不