譜元方法求解不可壓縮流體流動(dòng)及流動(dòng)線(xiàn)性穩(wěn)定性分析.pdf

1、本文的主要內(nèi)容是利用譜元法數(shù)值模擬流體力學(xué)中的相關(guān)問(wèn)題?？傮w思路如下：首先開(kāi)展對(duì)譜元法基本算法的研究，分別建立了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的譜元法，并通過(guò)一些具有解析解的數(shù)值算例驗(yàn)證方法的精度和程序的有效性；其次結(jié)合時(shí)間分裂法，求解不同坐標(biāo)系下的非定常不可壓縮流動(dòng)，在求解精度上與其它數(shù)值方法進(jìn)行了比較；最后對(duì)方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)流進(jìn)行了線(xiàn)性穩(wěn)定性分析，方腔采用有限長(zhǎng)模型，研究展向（z方向）長(zhǎng)度變化對(duì)流動(dòng)失穩(wěn)的影響，通過(guò)能量分析，探索流動(dòng)失穩(wěn)的物理機(jī)

2、制。
　　針對(duì)上述研究思路，本文具體開(kāi)展了如下工作，并完成了相應(yīng)的程序開(kāi)發(fā)：（1）推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系下的Chebyshev和Legendre譜元方法，并提出了極坐標(biāo)系下的求解Poisson-型方程Legendre譜元方法和Fourier-Legendre譜元方法。在極坐標(biāo)系下的譜元方法中，在單元徑向上，變量采用Legendre多項(xiàng)式展開(kāi)，極點(diǎn)所在單元的徑向采用Gauss-Radau積分點(diǎn)，其它單元的徑向采用Gauss-Lobatto

3、積分點(diǎn)；在單元周向上，變量分別采用Legendre多項(xiàng)式和Fourier多項(xiàng)式展開(kāi)。最后求解了多個(gè)具有解析解的Dirichlet或Neumann邊界條件下的Poisson-型方程（Helmholtz方程和Poisson方程），用于驗(yàn)證本文方法的精度和有效性。（2）結(jié)合譜元方法和時(shí)間分裂法，求解了一系列非定常不可壓縮流體流動(dòng)，其中時(shí)間分裂法離散了Navier-Stokes方程中的時(shí)間項(xiàng)，從而得到相應(yīng)的Poisson-型方程，進(jìn)而通過(guò)譜元法

4、進(jìn)行求解。在直角坐標(biāo)系下，分別求解了方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)流、自然對(duì)流和表面張力流等流動(dòng)，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)基準(zhǔn)解或有限體積法數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，從而驗(yàn)證方法的精度和可行性。在極坐標(biāo)系下，利用Fourier-Legendre譜元方法，以圓盤(pán)驅(qū)動(dòng)流作為算例，研究加速坩堝旋轉(zhuǎn)技術(shù)（ACRT）對(duì)于流體濃度均勻化的影響；首先，采用數(shù)值同位素模型，分別研究加速坩堝旋轉(zhuǎn)和勻速坩堝旋轉(zhuǎn)對(duì)于同位素流體濃度均勻化的作用，其中同位素流體的濃度變化僅由對(duì)流決定，以濃度的標(biāo)

5、準(zhǔn)差判斷均勻化程度，最后比較了譜元法和有限差分法的數(shù)值精度，對(duì)比了兩種方法下的數(shù)值擴(kuò)散的大小；其次，研究高溫溶液晶體生長(zhǎng)中加速坩堝旋轉(zhuǎn)技術(shù)對(duì)于流體濃度均勻化的作用，流體濃度的變化由對(duì)流和擴(kuò)散決定，本文選擇了六種典型的加速坩堝旋轉(zhuǎn)模式，并對(duì)每種旋轉(zhuǎn)模式分別施加了不同的旋轉(zhuǎn)時(shí)間周期，通過(guò)對(duì)濃度的標(biāo)準(zhǔn)差曲線(xiàn)變化找出最優(yōu)的加速坩堝旋轉(zhuǎn)模式和旋轉(zhuǎn)時(shí)間周期，并以此指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)。（3）結(jié)合譜元法和線(xiàn)性穩(wěn)定性分析理論，分別研究方腔（即x-y平面）施加無(wú)滑移

6、邊界條件和滑移邊界條件的有限長(zhǎng)模型的頂蓋驅(qū)動(dòng)流失穩(wěn)特性；其基本思想是在二維基態(tài)解上施加三維小擾動(dòng)，去掉擾動(dòng)的高階非線(xiàn)性部分，將小擾動(dòng)寫(xiě)成正則模形式，從而得到擾動(dòng)的控制方程組，通過(guò)譜元離散方程組，并將方程組表達(dá)成積分弱形式，最后可以得到相應(yīng)的廣義特征值問(wèn)題，利用Arpack程序包求解此特征值問(wèn)題，對(duì)于不同的Re數(shù)（Reynold數(shù)）和波數(shù)，根據(jù)特征值的實(shí)部大小來(lái)尋找流動(dòng)失穩(wěn)的臨界值；對(duì)臨界流動(dòng)進(jìn)行擾動(dòng)能量分析，探索不同展向長(zhǎng)度下的流動(dòng)失穩(wěn)

7、物理機(jī)制。
　　通過(guò)對(duì)不同問(wèn)題的計(jì)算和相應(yīng)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果表明：
　　①本文的譜元方法能夠以較少節(jié)點(diǎn)獲得高精度數(shù)值解；在極坐標(biāo)系下的譜元方法中，極點(diǎn)所在單元的徑向采用Gauss-Radau積分點(diǎn)，能夠成功地避免r=0處的1/r坐標(biāo)奇異性；另外，本文譜元法可以通過(guò)區(qū)域分解技術(shù)避免極點(diǎn)附近節(jié)點(diǎn)的聚集，從而使得其在求解利用顯示時(shí)間格式離散的非定常問(wèn)題時(shí)，減輕對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制。
　?、诶米V元法和時(shí)間分裂法，成功地求解直

8、角坐標(biāo)系下的不可壓縮流體流動(dòng)；首先通過(guò)求解具有解析解的二維非定常Burgers方程，驗(yàn)證了本文方法的可行性和高精度性；其次將方腔頂蓋驅(qū)動(dòng)流、自然對(duì)流和表面張力流的數(shù)值結(jié)果同文獻(xiàn)基準(zhǔn)解或有限體積法數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)各種結(jié)果之間吻合得都非常好，從而說(shuō)明本文方法能夠正確地用于流體流動(dòng)的求解，并為后續(xù)譜元法在極坐標(biāo)系下的流動(dòng)求解和流動(dòng)的穩(wěn)定性分析打下基礎(chǔ)。
　　③基于Fourier-Legendre譜元方法和有限差分法的數(shù)值結(jié)果比較表

9、明：一階迎風(fēng)差分格式存在嚴(yán)重的數(shù)值假擴(kuò)散現(xiàn)象，數(shù)值誤差很大，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)能稍微地改善結(jié)果；二階迎風(fēng)差分格式的數(shù)值擴(kuò)散較嚴(yán)重，存在較大的誤差，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)可以有效地改善數(shù)值結(jié)果；譜元方法求解的數(shù)值結(jié)果顯示，譜元法存在極小的數(shù)值擴(kuò)散，在勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)數(shù)值解幾乎與理論解一致，在加速旋轉(zhuǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差做非常均勻的周期性變化，不隨時(shí)間變化發(fā)生幅值的偏移，與數(shù)學(xué)模型的物理意義十分吻合，說(shuō)明譜元法是一種以較少節(jié)點(diǎn)獲得高精度解的數(shù)值方法，具有很好的穩(wěn)定性和收斂性

10、。
　?、芾肍ourier-Legendre譜元方法深入地研究了晶體生長(zhǎng)中加速坩堝旋轉(zhuǎn)技術(shù)對(duì)于濃度均勻化的作用，數(shù)值結(jié)果顯示：濃度均勻化最優(yōu)的加速坩堝旋轉(zhuǎn)模式是具有雙向旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱(chēng)梯形模式，最優(yōu)的無(wú)量綱時(shí)間周期為T(mén)=0.1；在本模型中溶液的完全混合是由擴(kuò)散和對(duì)流共同決定的，而對(duì)流是從時(shí)間尺度上加快了溶液總體混合的過(guò)程，即改變了局部濃度梯度，從而加速擴(kuò)散。
　?、萃ㄟ^(guò)對(duì)方腔 x-y平面上的邊界施加無(wú)滑移邊界條件的有限長(zhǎng)模型的頂

11、蓋驅(qū)動(dòng)流失穩(wěn)特性分析發(fā)現(xiàn)：首先，對(duì)于立方體方腔流動(dòng)，失穩(wěn)的臨界Re數(shù)和波數(shù)為818.41和3，流動(dòng)的失穩(wěn)屬于靜態(tài)失穩(wěn)，失穩(wěn)后的流動(dòng)在壁面附近比方腔中心要明顯得多，通過(guò)能量分析發(fā)現(xiàn)最危險(xiǎn)的區(qū)域位于上流線(xiàn)固壁附近，這與展向施加周期性邊界條件的無(wú)限長(zhǎng)模型的數(shù)值是一致的，流動(dòng)的失穩(wěn)機(jī)制為與靜態(tài) TGL（Taylor-Goertler-like）模式相關(guān)的離心失穩(wěn)。其次研究了Λ為整數(shù)的幾個(gè)算例，根據(jù)結(jié)果提出了兩個(gè)判斷不同Λ下流動(dòng)失穩(wěn)臨界參數(shù)的預(yù)測(cè)

12、，以Λ為小數(shù)且1<Λ<2的算例數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了上述預(yù)測(cè)的正確性；本文結(jié)果同直接數(shù)值模擬的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，兩種思路得到的臨界波數(shù)吻合得很好，僅Λ=1.8時(shí)存在不符，可能是數(shù)值方法的精度導(dǎo)致了這個(gè)差異，另外，不同Λ下的流動(dòng)失穩(wěn)均為靜態(tài)失穩(wěn)，且改變?chǔ)⒉桓淖兞鲃?dòng)失穩(wěn)的物理機(jī)制。最后，當(dāng)Λ=2π時(shí)，擾動(dòng)的控制方程同基于無(wú)限長(zhǎng)模型的擾動(dòng)方程在形式上是一樣的，而本文Λ=2π時(shí)的有限長(zhǎng)模型失穩(wěn)臨界值同無(wú)限長(zhǎng)模型的數(shù)值結(jié)果也符合地很好，且當(dāng)波數(shù)k≤1

13、1流動(dòng)為振蕩失穩(wěn)，即Hopf分叉，而當(dāng)波數(shù) k>11時(shí)流動(dòng)為靜態(tài)失穩(wěn)，與文獻(xiàn)結(jié)果十分一致；進(jìn)一步驗(yàn)證了本文有限長(zhǎng)模型的線(xiàn)性穩(wěn)定性分析結(jié)果的正確性，能夠用于解釋流動(dòng)的失穩(wěn)機(jī)制。
　?、尥ㄟ^(guò)對(duì)方腔 x-y平面上的邊界施加滑移邊界條件的有限長(zhǎng)模型的頂蓋驅(qū)動(dòng)流失穩(wěn)特性分析發(fā)現(xiàn)：首先，立方體方腔流動(dòng)的失穩(wěn)臨界Re為337.02，不到無(wú)滑移邊界下的有限長(zhǎng)模型和無(wú)限長(zhǎng)模型臨界Re的一半，說(shuō)明了無(wú)滑移邊界條件能夠起到穩(wěn)定流體流動(dòng)的作用；流動(dòng)的失穩(wěn)

14、屬于靜態(tài)失穩(wěn)；通過(guò)直接數(shù)值模擬驗(yàn)證了臨界波數(shù) k=2的正確性；基于能量分析發(fā)現(xiàn)，正的總能傳遞速率在方腔壁面附近達(dá)到頂峰，導(dǎo)致了流動(dòng)的失穩(wěn)，這是流動(dòng)失穩(wěn)的物理機(jī)制。由于角渦的消失，即缺失了形成TGL渦的主渦與下流線(xiàn)角渦之間的分界面，因此本模型下的流動(dòng)失穩(wěn)與無(wú)滑移邊界下的有限長(zhǎng)模型失穩(wěn)是不同的。其次，展向長(zhǎng)度的變化對(duì)于臨界雷諾數(shù)的影響較小，且不同Λ下流動(dòng)失穩(wěn)均屬于靜態(tài)失穩(wěn)；同樣，由于施加了滑移邊界條件，流動(dòng)相對(duì)于無(wú)滑移邊界下的流動(dòng)更加地不穩(wěn)