非線性方程間斷有限元方法誤差分析以及后處理技術.pdf

1、本文對非線性偏微分方程(PDE)間斷有限元方法(DG)的誤差分析以及后處理技術進行了研究，內容主要由作者博士期間所有發(fā)表及提交的學術論文構成。
　　 高階非線性偏微分方程間斷有限元方法誤差分析的研究對象為兩類強非線性四階拋物型發(fā)展方程，即surface diffusion方程和Willmore flow方程。這是繼Xu和Shu應用局部間斷有限元方法(LDG)求解這兩類方程后進一步的理論分析工作。應用局部間斷有限元的前提為將這兩類

2、方程寫成一階方程組的形式，然后應用間斷有限元方法的思想去設計數值格式，形式上將方程分解成線性和非線性兩個部分。通過對非線性項的技術處理，最終得到了正交網格上/2-模意義下最優(yōu)的誤差精度階k+1，其中k為間斷有限元逼近空間多項式的最高次數。
　　 后處理技術實為一種卷積作用，利用一個局部平均卷積核函數與偏微分方程數值逼近解做卷積。由于有限元方法求解偏微分方程所得誤差以及誤差的差商在負模意義下一般具有超收斂性，通過后處理作用理論上可

3、以獲得更高精度、更高光滑性的逼近解。本文主要將此后處理技術應用于線性拋物型偏微分方程和非線性雙曲型偏微分方程的間斷有限元方法當中。
　　 針對線性拋物型偏微分方程間斷有限元結果的后處理技術研究，本文選取多維線性對流擴散方程作為研究對象。通過對間斷有限元方法所得誤差的負模分析發(fā)現，誤差在負模意義下的精度階為2k+m，遠遠高于在L2-模意義下的精度階k+m，其中m是與數值流通量有關的常數，取值為0，1-2或1。本文選取了恰當的核函數

4、并對多維線性對流擴散方程的間斷有限元數值解進行后處理，結果表明后處理所得誤差在L2模下的精度階可達到2k+m。該結論為隨后的數值實驗所驗證。且本文的理論分析與線性拋物方程的連續(xù)有限元方法的后處理分析有著很大的不同。
　　 將間斷有限元方法的后處理技術從線性方程推廣到非線性方程具有重要的意義，本文對此進行了第一次的嘗試。本文以非線性雙曲守恒律方程為模型方程。首先給出了合適的對偶方程，然后利用對偶論證得到了誤差在負模意義下的精度階2