相伴隨機(jī)變量序列的極限性質(zhì)及其應(yīng)用.pdf

1、全文共分三章： 第一章，基本概念及其基本性質(zhì)的簡要回顧 一直以來相依隨機(jī)變量序列的理論研究都是概率極限理論研究者們的熱門話題.對于正負(fù)相依的基本概念起源于Harris(1960).在這里我們只考慮正相伴和負(fù)相伴兩種情形.此章中我們主要回顧了它們的基本概念和主要性質(zhì).如： 對PA隨機(jī)變量序列，Rao(2002)給出了如下著名的Hejek-Renyi型不等式： 設(shè){Xn，n≥1}是PA列，且具有有限方差，{b

2、n，n≥1}是一列正的單調(diào)不減的實(shí)數(shù).則對(A)ε＞0，有P(max1≤k≤n|1/bnk∑i=1(Xi-EXi)|≥ε)≤4/ε2{n∑j=1VarXj/b2j+∑1≤j≠k≤nCov(Xj,Xk)/bjbk}. 對NA隨機(jī)變量序列，Matula(1992)給出了其部分和的幾乎處處收斂性定理： 設(shè){εn,n≥1}是一列具有0均值，有限方差的NA隨機(jī)變量.如果∑∞n=1Var(εn)＜∞，則∑∞n=1εn收斂a.s.

3、 而且本文對多元回歸模型中最小二乘估計(jì)的強(qiáng)相合性列出了一些前人的主要結(jié)論. 第二章，PA隨機(jī)變量序列的Hajek-Renyi型不等式的應(yīng)用 本章在一定條件下對PA隨機(jī)變量序列建立了其部分和的強(qiáng)大數(shù)定律型的結(jié)果以及X1，X2，…，Xn的算術(shù)平均的完全收斂型的結(jié)果.已有學(xué)者對此做了研究，但本文采用的是不同的方法進(jìn)行論證，即其方法是建立在Hajek-Renyi型不等式之上的. 下面列舉一下本文的主要結(jié)論，對一般的強(qiáng)

4、大數(shù)定律有： 設(shè){Xn，n≥1}是PA序列，{gn(x)，n≥1}是偶函數(shù)序列，它們在區(qū)間x＞0中取正值，不減.而且對每一個(gè)n滿足下列條件之一： (i)在區(qū)間x＞0中，x/gn(x)不減；(ii)在區(qū)間x＞0中，x/gn(x)和gn(x)/x2都是不增的，且EXn=0.此外{an,n≥1}是常數(shù)列，滿足0＜an↑∞和∑∞n=1(Egn(Xn)/gn(an))1/2＜∞.則當(dāng)n→∞時(shí)，1/ann∑k=1Xk→0a.s.

5、 基于這一定理本文取特殊的偶函數(shù)序列{gn(x)，n≥1}及常數(shù)列{an，n≥1}得到了兩個(gè)有用的推論. 對完全收斂性我們有： 設(shè){Xn，n≥1}是PA序列，滿足對(A)ε＞0，有∞∑j=1VarXj/j2+∞∑j≠k=1Cov(Xj,Xk)/j·k＜∞，和∞∑j≠k=1P(|j∑i=1(Xj-EXj)|≥jε，|k∑i=1(Xi-EXi)|≥kε)＜∞.則有∞∑n=1P(|n∑i=1(Xi-EXi)|≥nε)＜∞.

6、對加權(quán)和的穩(wěn)定性我們有： 設(shè)正數(shù)列{ωi，i≥1}滿足：Wn=∑ni=1ωi↑∞，且當(dāng)n→∞時(shí)，ωn/Wn→0；PA列{Xn，n≥1}滿足：EXn=0，n≥1；∑n≥1P(|Xn|≥bn)＜∞；∑n≥1/bnEXbnn＜∞；∑n≥1W-2nn∑j=1ωjωnCov(xbjj，Xbnn)＜∞.其中bn=Wn/ωn，n≥1.則當(dāng)n→∞時(shí)，Tn-ETn/Wn→0a.s.其中Tn=∑1≤i≤nωiXi,n≥1. 第三章，具有NA

7、誤差項(xiàng)的多元回歸模型中最小二乘估計(jì)的強(qiáng)相合性 在這一章中考慮多元回歸模型：yi=β1xi1+β2xi2+…+βpxip+εi，(i=1，2，…)，(0.3.1)在對誤差項(xiàng)和設(shè)計(jì)矩陣限制了一定的條件下建立了具有NA誤差項(xiàng)的多元回歸模型中系數(shù)的最小二乘估計(jì)的強(qiáng)相合性，并且進(jìn)一步得到了NA序列的樣本均值的加權(quán)和的幾乎處處收斂性的結(jié)果. 本文的主要結(jié)果有：設(shè){εn，n≥1}是一NA列，滿足Eεn=0，∑∞n=1Var(εn)＜∞

8、.設(shè)k是某一正整數(shù)，對每一個(gè)n≥1，令Tn是一個(gè)k維常數(shù)向量，當(dāng)k=1時(shí)，T1，T2，…，Tn,…是同號序列.令Hn=∑ni=1TiTi′.假設(shè)對某正整數(shù)m，Hm是正定矩陣.且若對同號常數(shù)序列{cn，n≥1}有：∑∞i=m+1ci2(1+T′iH-1i-1Ti)＜∞.則依概率1，有∑ni=m+1ciT′iH-1i-1(∑ij=1Tjεj)收斂，當(dāng)n→∞時(shí). 作為此結(jié)論的特殊情形就是k=1和Ti=1時(shí)，此時(shí)本文以推論的形式給出了N

9、A序列的樣本均值的加權(quán)和的幾乎處處收斂性. 在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上得到了具有NA誤差項(xiàng)的多元回歸模型中最小二乘估計(jì)的強(qiáng)相合性結(jié)論： 在模型(0.3.1)中，設(shè){εn，n≥1}是一NA列，滿足Eεn=0，∑∞n=1Var(εn)＜∞.假設(shè)對某正整數(shù)m，X′mXm是正定矩陣.對n≥m，設(shè)bn=(bn1，bn2，…，bnp)是模型(0.3.1)的系數(shù)的最小二乘估計(jì).令Vn=(v(n)ij)1≤i，j≤p=(X′nXn)-1.