兩類生物模型的共存態(tài)和漸近行為.pdf

1、Lotka-Volterra模型和恒化器模型是兩類重要的生物數(shù)學模型.Lotka-Volterra模型是種群動力學研究的核心內(nèi)容，它在生態(tài)學，特別是動植物保護和生態(tài)環(huán)境的治理與開發(fā)等領(lǐng)域中有著非常重要的作用.恒化器是用于微生物連續(xù)培養(yǎng)的一種實驗裝置.它不僅是一個簡化了的湖泊模型，可用于模擬湖泊和海洋中單細胞藻類浮游生物的生長，而且它已被廣泛地應用于微生物的生產(chǎn)、生物制藥、食品加工及生態(tài)系統(tǒng)尤其是水生生態(tài)系統(tǒng)的管理、預測和環(huán)境污染的控制.

2、 本文基于這兩類生物模型的研究現(xiàn)狀，主要運用非線性分析和非線性偏微分方程工具，特別是反應擴散方程(組)和對應橢圓方程(組)的理論和方法，深入系統(tǒng)地研究了具有抑制劑的非均勻恒化器模型和具有非單調(diào)轉(zhuǎn)換率的Lotka-Volterra模型的動力學行為，包括正平衡態(tài)解的存在性、多解性、穩(wěn)定性以及長時行為.所涉及的數(shù)學理論包括：上下解方法、比較原理、單調(diào)動力系統(tǒng)理論、全局分歧理論、拓撲不動點理論、Lyapunov-Schmidt過程和擾動

3、理論等.本文的主要內(nèi)容包括以下幾個方面：一、研究了基本的非均勻恒化器模型，利用比較原理和上下解方法得到了模型正平衡解的全局吸引性.而且，采用上下解方法、Sobolev嵌入定理并結(jié)合特征值性質(zhì)，詳細分析了單物種模型的正解同物種生長率的關(guān)系. 二、考察了一類具有內(nèi)部抑制劑的非均勻恒化器模型.首先分析了平凡的、半平凡的非負解的穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)解的一些漸近行為，并根據(jù)單調(diào)動力系統(tǒng)理論得到了正平衡解的存在性.然后，利用度理論、分歧理論以

4、及攝動理論，重點分析了抑制劑對系統(tǒng)正平衡態(tài)解及漸近行為的影響.結(jié)果表明體現(xiàn)抑制作用的參數(shù)μ在決定模型解的穩(wěn)定性和長時行為時起了重要作用.當參數(shù)μ充分大時，如果物種u的生長率適當大，則此模型沒有正解，且其中一個半平凡的非負解是全局吸引的；如果物種u的生長率滿足一定條件，則此模型的所有正解由一個極限問題決定，且兩個半平凡的非負解是雙穩(wěn)定的. 三、討論了一類具有外加抑制劑的非均勻恒化器模型，利用分歧理論分析了共存解的全局結(jié)構(gòu)和局部穩(wěn)定

5、性，采用單調(diào)方法研究了系統(tǒng)的漸近行為，并用數(shù)值模擬的方法說明了競爭物種滅絕或共存以及正平衡態(tài)解全局穩(wěn)定的可能性，討論了物種振蕩與模型各參數(shù)的關(guān)系. 四、研究了一類具有內(nèi)部抑制劑的質(zhì)體負載(plasmid-bearing)與質(zhì)體自由(plasmid-free)的物種相互競爭的非均勻恒化器模型.首先，采用通常的錐映射的不動點指標理論得到了物種共存的充分條件.然后，利用度理論、分歧理論以及攝動理論，主要分析了抑制劑對模型正平衡態(tài)解的個

6、數(shù)及穩(wěn)定性的影響.結(jié)果顯示體現(xiàn)抑制作用的參數(shù)μ在決定模型共存解個數(shù)時起了重要作用.當參數(shù)μ充分大時，如果物種u的生長率滿足一定條件，則此模型至少存在兩個共存解；如果物種u的生長率適當大，則此模型存在唯一的漸近穩(wěn)定的共存解.最后，利用數(shù)值模擬的方法更細致地刻畫了各參數(shù)對模型共存解個數(shù)及穩(wěn)定性的影響. 五、考慮了一類具有外加抑制劑的質(zhì)體負載(plasmid-bearing)與質(zhì)體自由(plasmid-free)的物種相互競爭的非均勻

7、恒化器模型，利用全局分歧理論、不動點指標理論、比較原理和線性穩(wěn)定性方法，分析了共存解的全局結(jié)構(gòu)和局部穩(wěn)定性，并從數(shù)值的角度討論了競爭物種滅絕或共存以及物種振蕩對模型各參數(shù)的依賴關(guān)系. 六、研究了一類具有擴散和非單調(diào)轉(zhuǎn)換率的Lotka-Volterra模型，采用分歧理論、Lyapunov-Schmidt過程和擾動理論分析了此模型平衡態(tài)系統(tǒng)的多解性和穩(wěn)定性.結(jié)果表明如果參數(shù)d適當大，那么系統(tǒng)的共存解關(guān)于分歧參數(shù)形成了一條S-型的光滑