相場(chǎng)模型方程的局部間斷有限元方法及快速求解.pdf

1、本文應(yīng)用局部間斷有限元(LDG)方法求解一系列相場(chǎng)模型方程以達(dá)到空間上的高階精度來(lái)抓住尖銳界面（sharp interface）。這些方程包括Cahn-Hilliard方程、Allen-Cahn方程、Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程組、Cahn-Hilliard-Brinkman方程組及functionalized Cahn-Hilliard方程。相場(chǎng)模型方程的高階非線性性要求我們選取隱式時(shí)間離散方法以減弱顯式時(shí)間離散

2、對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的限制。為提高整體計(jì)算效率，我們采用多重網(wǎng)格方法求解線性或者非線性方程組。本文證明了以上方程半隱式LDG格式的能量穩(wěn)定性及基于凸分解準(zhǔn)則的全離散格式的無(wú)條件能量穩(wěn)定性，這允許我們自適應(yīng)的選取時(shí)間步長(zhǎng)。此外，我們還證明了Allen-Cahn方程LDG格式L2模及負(fù)模意義下的先驗(yàn)誤差估計(jì)。本文的研究工作主要分為以下四部分。
　　第一部分，我們研究和分析了如何快速求解由Cahn-Hilliard方程LDG空間離散和隱式時(shí)間離散

3、而產(chǎn)生的方程組。Cahn-Hilliard方程中退化的遷移率(mobility) b(u)增加了隱式時(shí)間離散及求解難度，對(duì)此，我們引入了線性化技巧得到時(shí)間上的高階隱式格式。對(duì)特殊的Cahn-Hilliard方程(自由能Ψ(u)=1/4（1-u2）2）構(gòu)造了基于凸分解準(zhǔn)則的全離散格式，并證明了它的無(wú)條件能量穩(wěn)定性。隱式時(shí)間離散及多重網(wǎng)格方法使得我們可以得到Cahn-Hilliard方程的穩(wěn)態(tài)解。
　　第二部分，我們對(duì)Allen-Ca

4、hn方程構(gòu)造了LDG空間離散并證明了半離散格式的能量穩(wěn)定性。此外，還給出了L2模意義下的先驗(yàn)誤差估計(jì)。Allen-Cahn方程中的非線性項(xiàng)為誤差分析增加了一定的困難，通過(guò)對(duì)非線性項(xiàng)的特殊處理，我們得到了L2模意義下的最優(yōu)收斂階，即k階多項(xiàng)式近似具有k+1階精度。通過(guò)引入對(duì)偶技巧，我們還證明了負(fù)模意義下的2k+1階收斂階。
　　第三部分，我們分別對(duì)四階非線性Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程組、Cahn-Hillia

5、rd-Brinkman方程組及六階非線性functionalized Cahn-Hilliard方程構(gòu)造了LDG方法并證明了半離散格式的能量穩(wěn)定性。這三個(gè)方程的高階非線性性為數(shù)值近似增加了一定的困難。而Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程組和Cahn-Hilliard-Brinkman方程組又需要我們耦合求解▽·u=0這個(gè)額外方程。同時(shí)，高階非線性性使得顯式時(shí)間離散變得沒(méi)有意義，我們基于Cahn-Hilliard方程能量凸

6、分解準(zhǔn)則對(duì)Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程組和Cahn-Hilliard-Brinkman方程組分別構(gòu)造了半隱式時(shí)間離散方法，并證明了無(wú)條件能量穩(wěn)定性。這允許我們自適應(yīng)的選取時(shí)間步長(zhǎng)。這三個(gè)方程形式上的復(fù)雜性使得時(shí)-空離散后所得線性或非線性方程組的求解也成為一個(gè)大的挑戰(zhàn)。
　　以上我們所考慮的方程均為具有偶數(shù)階空間導(dǎo)數(shù)的偏微分方程。第四部分，我們研究如何快速求解由三階、五階KdV方程LDG空間離散及隱式addit

7、iveRunge-Kutta(ARK)時(shí)間離散產(chǎn)生的線性方程組。線性方程組的強(qiáng)非對(duì)稱性增加了求解的難度。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我們把奇數(shù)階方程拆分為方程組的形式以減弱線性代數(shù)方程組的非對(duì)稱性，并用多重網(wǎng)格方法求解。而為了分析它的收斂性，我們采用局部Fourier分析方法。
　　對(duì)于以上方程LDG空間離散及隱式時(shí)間離散所得線性或非線性方程組，我們均采用多重網(wǎng)格方法進(jìn)行求解，并數(shù)值上表明多重網(wǎng)格方法具有最優(yōu)或幾乎最優(yōu)的計(jì)算復(fù)雜度。這與傳統(tǒng)的迭