2015實變函數(shù)練習模擬題

1、同學們：元旦快樂！ 同學們：元旦快樂！1 月 4 日，上課地點： 日，上課地點：1F-315，時間不變。 ，時間不變。復習提示：這些是類型題。大家認真復習，掌握相關 復習提示：這些是類型題。大家認真復習，掌握相關知識點 知識點?？荚囈螅簬W生證，不得作弊，否則清出考場！ 考試要求：帶學生證，不得作弊，否則清出考場！第一次部分 第一次部分 一、分析題 一、分析題A 集合、點集、測度論 集合、點集、測度論1、說明無聚點的集合與只有孤立

2、點的集合的關系. 答：⑴ 只有孤立點的集合不一定是無聚點的集合. 如： ， . ' , 1 , , 31 , 21 , 1 R n E ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 0 ' ? E⑵ 無聚點的集合不一定只有孤立點. 如： ， . ? ? E ? ? ' E2、任意多個閉集的并集一定是閉集么？回答并舉例說明.答：不一定.例： ，則 為閉集，但 是開集. ) , 3 , 2 ( 1 1 , 1 ?

3、 ? ? ??? ?? ? ? n n n Fn n F ) 1 , 0 (2 ? ??? n n F U F3、試舉出 中這樣的點集:其極限點一部分在點集中，另一部分不在點集中. 1 R答：令 ， 是有理數(shù) ，則 的極限點全體就是 ，則 就是 中這樣的集合. ? ? ? 1 , 0 | ? ? x x

4、Q x ? Q ? ? 1 , 0 Q 1 R4、任意多個開集的交集一定是開集么？回答并舉例說明.答：不一定.例如： 每個 是開集，但 不是開集. ), , 2 , 1 ( ), 1 1 , 1 1 ( ? ? ? ? ? ? n n n Gn n G ] 1 , 1 [1 ? ? ??? n n G5、 （-1，1)與 對等么？說明理由. ? ? ?? ? ? ,答：對等. 是（-1，1)到 的一一對應. ) 2 tan( )

5、( x x f ? ? ) , ( ?? ??6、設 是開集，且 是 的真子集，是否一定有 ？回答并舉例討論說明. 1 2 , G G 1 G 2 G 1 2 mG mG ?答：不一定有 . 1 2 mG mG ?例如： ， . 雖然 是 的真子集，但 . 11 1 (0, ) ( ,1) 2

6、 2 G ? ? 2 (0,1) G ? 1 G 2 G 1 2 1 mG mG ? ?7、 與 是否對等？若對等，做出它們間的一一映射. ? ? 1 , 0 ? ? 1 , 0答：對等. 因為 是 到 上的一一映射. ? ?0, 1( ) , 0,1xf x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 , 0 ? ? 1 , 010、說明為什么可數(shù)集合在無限集中具有最小的基數(shù)？ 答：任一

7、無限集都至少包含一個可測子集.12、有界可測集與測度有限的可測集之間有什么關系？答：若 有界，則 .反之不真，如有理數(shù)集全體， ，但無限. E ?? ? E m* 0 ? mE2、設 于 上可積，令 ，是否有 ？回答并證明. ( ) f x E n E E f n ? ? ? ? ? ? lim 0 n x mE?? ?答：一定有 . lim 0 n x mE

8、?? ?因為 于 上可積，所以 .但是 ( ) f x E ( )E f x dx S ? ? ? ?( ) ,n nnE ES f x dx ndx n mE ? ? ? ? ? ?所以 ，因而有 . 1n mE S n ? lim 0 n x mE?? ?3、設 其中 ， 是有理數(shù) ， ， 是無理數(shù)311, , ( )1 , ,x x P f xx Q? ? ? ? ? ?? ? ?

9、1 | 0,1 Q x x ? ? x ? ? ? ? 1 | 0,1 P x x ? ? x ?， 在 上黎曼可積么？勒貝格可積么？為什么？若可積，計算 ) (x f ] 1 , 0 [10 ( ) . f x dx ?解：在 上 不是黎曼可積的，因為除 外， 上的點全是 的間斷點，即 的間斷 ] 1 , 0 [ ) (x f 1 ? x ] 1 , 0 [ ) (x f ) (x f點所成之集 是一個正測度集. 是勒貝格可積的.因

10、 是測度有限集,且 在 上是有界 [0,1) ) (x f ] 1 , 0 [ ) (x f ] 1 , 0 [可測的.令 ,顯然 在 上黎曼可積,則 于在 3 ( ) , [0,1] x x x ? ? ? ( ) x ? [0,1] . . ) ( ) ( e a x x f ? ? ], 1 , 0 [ ( ) f x [0,1]上也黎曼可積，且 .10 ( ) . f x dx ?1 1 30 01 ( ) ( ) 4 L x

11、dx x dx ? ? ? ? ? ?5、幾乎處處收斂、基本上一致收斂以及依測度收斂的關系如何？答：E f fn 于 ? E u a f fn 于 . . ?E e a f fn 于 . . ?葉果洛夫定理 葉果洛夫定理 mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞葉果洛夫 葉果洛夫 逆定理 逆定理子列 子列Riesz Riesz定理 定理子列E f fn 于 ? E u a f fn 于 . . ?E e a f fn 于 .

12、 . ?E f fn 于 ? E u a f fn 于 . . ?E e a f fn 于 . . ?葉果洛夫定理 葉果洛夫定理 mE<+∞ 葉果洛夫定理 葉果洛夫定理 mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞葉果洛夫 葉果洛夫 逆定理 逆定理 葉果洛夫 葉果洛夫 逆定理 逆定理子列 子列Riesz Riesz定理 定理子列 子列Riesz Riesz定理 定理子列 子列計算題 計算

13、題1、求集列 的上、下極限集. 1 0,1 ( 1) , 1,2,3, n n n? ? ? ? ? ? ? ? ??解： . 1 lim 0,1 ( 1) (0,1); nn n ??? ? ? ? ? ? ? ? ?1 lim 0,1 ( 1) (0,1] nn n ??? ? ? ? ? ? ? ? ?2、求極限 . nxdx x nnx Rn3102 2 sin 1 ) ( lim ? ? ? ?答：∵ 在 上連續(xù)，∴