中科大《優(yōu)化設計》課程大作業(yè)之無約束優(yōu)化實驗報告

1、無約束優(yōu)化設計實驗報告 無約束優(yōu)化設計實驗報告力學系 力學系 型號 型號：聯(lián)想 y470CPU：i5-2450M內存 內存：2GB系統(tǒng) 系統(tǒng)：win7-64 位如下是三個目標函數(shù)（包括自定義函數(shù)）以及初值和精度選?。?.minf(x)=x1^2+2*x2^2-2*x1*x2-4*x1初值 x0=[1,1]’；精度為：0.12.minf(x, y)=x^4-2*x*x*y-2*x*y+x^2+2*y*y+4.5*x-4*y+4初值為（-2

2、.5,4.25）；精度為 0.013.minf(x)=x1^2+x2^2+x3^2初值為（3,2,1）；精度為 0.01如下是運算結果： 如下是運算結果：目標函數(shù) 無約束方法 一維搜索 所需時間 迭代次數(shù) 極值點 極值黃金分割法 5.81 8 （3.9,1.9） -8.0牛頓法 2.61 8 （3.9,1.9） -8.0 最速下降法不精確法 2.96 8 （3.9,1.9） -8.0黃金分割法 1.66 1 （4.0,2.0） -8.0

3、牛頓法 1.02 1 （4.0,2.0） -8.0 阻尼牛頓法不精確法 0.76 1 （4.0,2.0） -8.0黃金分割法 14.65 24 （3.9,2.0） -8.0牛頓法 7.91 24 （4.0,2.0） -8.0 共軛梯度法不精確法 11.28 27 （3.9,2.0） -8.0黃金分割法 9.53 2 （4.0,2.0） -8.0牛頓法 2.86 2 （4.0,2.0） -8.0 鮑維爾法不精確法 -- -- -- --黃

4、金分割法 8.04 2 （4.0,2.0） -8.0牛頓法 1.24 2 （4.0,2.0） -8.0 變尺度法不精確法 1.35 3 （4.0,2.0） -8.01單形替換法 無 0.02 9 （4.1,2.2） -8.0總結及比較： 總結及比較：根據(jù)上面三個函數(shù)的表格可以看出：首先，從迭代時間來看，三種一維搜索方法中黃金分割法所用時間最久，牛頓法和不精確法所用時間較少，這兩種方法相比較而言牛頓法所用時間更少一些。而六種無約束方法中，

5、由于單形替代法不需要使用一維搜索方法，故迭代時間最少，緊接著在使用一維搜索的五種方法中以阻尼牛頓法迭代時間相對較少，共軛梯度法迭代時間最久；然后，從迭代次數(shù)來看，共軛梯度法往往需要較多的迭代次數(shù)，從而所需時間也最久；接著，從計算結果的精度來看，阻尼牛頓法的結果精度最高，而單形替換法的精度最低；最后，從編程來看，在編好一維搜索方法的情況下，最速下降法和阻尼牛頓法編程簡單容易，而共軛梯度法、變尺度法和單形替代法需要兩重循環(huán)實現(xiàn)，鮑威爾法和單

6、形替換法則需要編程者對矩陣的操作能力有較高的要求，故編程較難。同時，從上面的結果也可以發(fā)現(xiàn)，鮑威爾法在使用不精確的一維搜索方法時，對函數(shù) 1 無法收斂，對函數(shù) 2、3 收斂到錯誤的結果，所以鮑威爾法是依賴于精確的一維搜索過程的，而其他幾個則不依賴于精確一維搜索過程。精確的一維搜索方法通常需要花費很大的工作量，特別是當?shù)c遠離問題的解時，精確的求解一個一維子問題通常不是十分有效率的。因此，只要保證目標函數(shù)值在每一步都有滿意的下降，使用不

7、是非常精確的一維搜索，就可以大大節(jié)省工作量。在分析函數(shù) 2 的計算結果時，可以發(fā)現(xiàn)存在兩個收斂結果，當然這兩個結果都是極值，因為函數(shù) 2 是二元四次函數(shù)，存在多個極值。故為了驗證正確性，自己曾將初始點（-2.5,4.25）調成（2.5,4.25），分別代入程序中計算，計算結果都收斂于極值為 0.99 的這個點上。所以，在存在多個極值點的情況下結果是和初始點的選取有關。對于單形替換法，這種方法不需要一維搜索最佳步長，故沒有一維搜索方法反復

8、地計算最佳步長的計算時間，程序運行效率快。但它的收斂條件不好選擇，通過查找文獻資料總結出以下三個收斂條件：1.利用最壞點函數(shù)值與最好點函數(shù)值之差判別；2. 利用相鄰兩次函數(shù)值差值的絕對值判別；3. 利用各點的函數(shù)值與最好點函數(shù)值之差的均方根判別。為了保證程序的執(zhí)行可靠性，這三種常用的方法中自己選擇了判別 3，即：綜上所述，阻尼牛頓法是無約束方法中最有效的方法。不僅編程簡單，而且迭代次數(shù)較少，運行時間較短，結果的精度也較高。在程序的運行方

9、面，分別設置了可變的函數(shù)選擇、無約束方法選擇、一維搜索方法選擇、起始點、精度這五個輸入，故可以在命令窗口運行主程序 main，再根據(jù)提示要求分別輸入這五個參數(shù)的所需值，就可以得到運行結果。程序如下：1、 主函數(shù)clear;global k;k=0;disp('1.f(x)=x1^2+2*x2^2-2*x1*x2-4*x1');disp('2.f(x,y)=x^4-2*x*x*y-2*x*y+x^2+2*y*y+4