聲表面波器件的快速精確模擬

1、中國科學(xué): 物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué) 2011 年 第 41 卷 第 10 期: 1 ~ 6 SCIENTIA SINICA Phys, Mech 接受日期: 2011-08-05 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 10834010, 61071054, 10774159) 摘要 該文提出了聲表面波器件有限元/邊界元(Finite Element Method/Boundary Element Method, FEM

2、/ BEM)模擬的快速計(jì)算方法. FEM/BEM 方法作為一種全波分析方法, 考慮了所有聲波模式, 能實(shí)現(xiàn)對(duì)聲表面波器件的精確模擬, 但 FEM/BEM 方法一般計(jì)算量大而難以實(shí)用, 國內(nèi)外已有工作圍繞提高 FEM/BEM 法的計(jì)算速度展開. 本文將在 Ventura 工作的基礎(chǔ)上, 優(yōu)化占主要計(jì)算量的體波貢獻(xiàn). 首先對(duì)固定的半無限長壓電基片的格林函數(shù)用分段多項(xiàng)式函數(shù)近似, 以避免復(fù)雜格林函數(shù)的反復(fù)計(jì)算, 然后推導(dǎo)出近似后的積分之間的遞

3、推關(guān)系式, 編寫遞推算法, 并通過實(shí)例驗(yàn)證了遞推算法能達(dá)到精度要求且提高了計(jì)算速度. 最后采用優(yōu)化后的 FEM/BEM 程序?qū)σ环N縱向耦合(Double Mode Saw, DMS)濾波器進(jìn)行模擬, 模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合. 關(guān)鍵詞 FEM/BEM, 格林函數(shù), 遞推算法 PACS: 43.35.Pt, 43.38.Rh, 43.58.Ta, 02.70. Pt 聲表面波器件模擬方法可分為兩大類: 一類是唯象模型, 如

4、脈沖響應(yīng)模型[1], 等效電路模型[2], 耦合模模型[3～6]. 脈沖響應(yīng)模型忽略了指條間內(nèi)反射效應(yīng), 而高性能器件通常需要利用指條間內(nèi)反射效應(yīng). 等效電路模型與耦合模模型考慮了指條間內(nèi)反射效應(yīng), 但模型參數(shù)由其他方法得到[7,8], 對(duì)于非周期結(jié)構(gòu)器件很難得到精確的參數(shù). 另一類是精確模型, 如有限元, 邊界元(BEM)等全波分析方法, 考慮了所有聲波模式. 有限元法計(jì)算量很大, 對(duì)于周期結(jié)構(gòu)[9]可以只模擬一個(gè)周期從而計(jì)算量小,

5、但是對(duì)于有限長的非周期結(jié)構(gòu)和半無限大的壓電基片的聲波模式分析時(shí)候面臨網(wǎng)格多、計(jì)算量巨大的問題. BEM 法由Milsom 等人[10]等提出, 與有限元相比可快速地模擬壓電基片的所有聲波模式, 但沒有考慮實(shí)際應(yīng)用器件中的指條形狀和質(zhì)量負(fù)載效應(yīng). 目前國內(nèi)外學(xué)者采用 FEM/BEM 結(jié)合的方法, 同時(shí)兼顧了 FEM 和BEM 的優(yōu)點(diǎn), 采用 FEM 法模擬任意形狀的指條, BEM 法模擬半無限大的壓電基片, 實(shí)現(xiàn)對(duì)聲表面波器件的精確模擬同

6、時(shí)計(jì)算量較 FEM 小. BEM 法模擬基片需要做大量的積分運(yùn)算, 積分函數(shù)中包含格林函數(shù)等復(fù)雜函數(shù), 根據(jù)格林函數(shù)分為靜電, 表面波, 漸進(jìn)項(xiàng)和體波四部分[10], 可以將積分運(yùn)算分為對(duì)應(yīng)的靜電, 表面波, 漸進(jìn)項(xiàng)和體波四部分貢獻(xiàn)分別計(jì)算, 其中以體波計(jì)算最復(fù)雜導(dǎo)致體波貢獻(xiàn)計(jì)算量最大, 與體波貢獻(xiàn)計(jì)算量相比, 其他三部分計(jì)算量可以忽略, 體波貢獻(xiàn)計(jì)算量大導(dǎo)致 FEM/BEM 模擬時(shí)間長, 因此優(yōu)化體波貢獻(xiàn)計(jì)算是實(shí)現(xiàn) FEM/BEM 法

7、快速模擬的關(guān)鍵. 國內(nèi)外已有研究就圍繞提高 FEM/BEM 法中國科學(xué): 物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué) 2011 年 第 41 卷 第 10 期 3 ? ? 1 e d . 2jwsx H s s s?? ??? ? ??(5) 在(4)式中, 界面上應(yīng)力矢量和電荷密度除了指條和基片的接觸面不為零外其他地方為零, 所以積分區(qū)域是所有指條和基片的接觸面. 界面上應(yīng)力和電荷密度可用切比雪夫多項(xiàng)式加權(quán)的基函數(shù)[16] 近似如(6)式, 界面上

8、位移和電勢(shì)可用(7)式離散化. 擬合項(xiàng)數(shù) Nch 為 3~5 就可達(dá)到較高的精度. ? ? ? ?2 10 1 ,sur t Nch j j j sur n n j j j nb x c x c t x T x a a b? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(6) ? ? ? ?? ? 12 1 d , 1u m i

9、 i ii i i mT x u a x c b x a x c b x ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(7) 其中 m=0,…,Nch-1, Nch 為擬合項(xiàng)數(shù), i, j=0,…,Ne-1, Ne 為指條根數(shù). bj tsur, bjσ, bi u, biφ為第 i 或 j 根指條上各場(chǎng)量的離散化系數(shù), ci, ai 為 i 根指條的中心位置和寬度的一半, Tn(x)為 cheb

10、yshev 多項(xiàng)式函數(shù). 由離散化(4), (6)和(7)式, 可得代數(shù)方程組如下: , , ,sur t u j i j i m ni j m nb b Y b b ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(8) 其中代數(shù)方程組系數(shù) Ym,n i,j 計(jì)算公式如下: ? ? ? ?? ?1 1 , , 2 2 1 1 1 1d d .n j m i i j m n jj ii i j j i jT x T x

11、 Y a x xG a x c a x c x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ?(9)(8)式是BEM模擬基片得到的方程, 再加上FEM模擬指條得到的方程, 聯(lián)立兩者方程才可求解. FEM 模擬只需考慮聲場(chǎng), 采用成熟的 FEM 理論方法, 可得節(jié)點(diǎn)應(yīng)力和位移如下[17]: ? ? 2 K w M U F ? ? , (10) 其中 K,M 為整體剛度矩陣和整體質(zhì)量矩陣, U, F 為各節(jié)點(diǎn)的位移和外力所組成的矢量. 外力即

12、是界面應(yīng)力, 只分布在指條和基片的接觸面上, 分布函數(shù)見(6)式. 由有限元理論, 由外力分布可計(jì)算出節(jié)點(diǎn)外力 F, 然后求解出節(jié)點(diǎn)位移 U. 由于應(yīng)力分布函數(shù)由多項(xiàng)組合相加而成, 可根據(jù)線性系統(tǒng)理論計(jì)算出對(duì)應(yīng)每項(xiàng)的位移, 再組合相加得到總的節(jié)點(diǎn)位移 U=A bi tsur, 其中系數(shù)矩陣 A是由每項(xiàng)計(jì)算出的位移組合成的矩陣. 由有限元理論, 界面位移分布函數(shù)可由節(jié)點(diǎn)位移根據(jù)行函數(shù)插值得到, 將位移分布函數(shù)代入(7)式, 得到位移離散

13、化系數(shù)與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系 bi u =BU, 其中 B 是系數(shù)矩陣. 所以令 Ye= BA, 則離散化的界面應(yīng)力和位移之間的關(guān)系見(11)式, 其中每根指條都單獨(dú)用 FEM 模擬. sur t u i e i b Y b ? , (11) 其中 i =0,…,Ne ?1. 聯(lián)立 BEM模擬結(jié)果見(8)式和有限元模擬結(jié)果見(11) 式得到最終的代數(shù)方程組, 若指條電勢(shì)已知, 即可求解方程組. 實(shí)際只知道指條電勢(shì)差, 指條電勢(shì)則會(huì)引入一

14、個(gè)變量, 可根據(jù)電荷守恒原則再增加一個(gè)方程, 每個(gè)懸浮指條會(huì)引入一個(gè)變量, 可根據(jù)懸浮指上的電荷守恒原則引入一個(gè)新方程[17], 這樣保障未知量和方程數(shù)相同, 方程才可求解. 2 體波快速計(jì)算 FEM/BEM 方法主要計(jì)算量是代數(shù)方程組系數(shù)Ym,n i,j 的計(jì)算, 由于格林函數(shù)可分別四部分貢獻(xiàn), 該系數(shù)可對(duì)應(yīng)地分為四部分分別計(jì)算[16~18]: 靜電貢獻(xiàn), 表面波貢獻(xiàn), 漸進(jìn)項(xiàng)貢獻(xiàn), 體波貢獻(xiàn). 而其中體波貢獻(xiàn)計(jì)算占用絕大部分計(jì)算

15、時(shí)間. 本文工作主要是優(yōu)化體波貢獻(xiàn)計(jì)算. 將格林函數(shù)的體波貢獻(xiàn) Gb(x)計(jì)算公式如下[16~18]: ? ? ? ? jwsx 1 e d , 2mmb s bsH s G x s s? ?? ? ??(12) 其中[?sm, sm]為積分區(qū)間, sm 取足夠大的值即可. Hb(s)波數(shù)域的格林函數(shù)的體波部分, 即去除零波數(shù)極點(diǎn)和表面波對(duì)應(yīng)極點(diǎn)影響后的格林函數(shù). 將(12)式代入(9)式, 再將二維積分簡(jiǎn)化為一維積分, 可得到體

16、波貢獻(xiàn)計(jì)算公式如下: ? ?? ? ? ? ? ?, ,e d , 2mmb i j m nb s j n m jws m i n j sYa H s j J wsa J wsa s s? ? ???? ?(13)其中?=ci?cj, Jn(x)為第一類貝塞爾函數(shù). 對(duì)于特定的壓電基片, 格林函數(shù)是確定的, 可用簡(jiǎn)單函數(shù)擬合. 本文采用分段多項(xiàng)式函數(shù)擬合格林函數(shù), 擬合方法采用的是最佳一致逼近的里米茲算法, 該算法能直接計(jì)算出擬合精