實(shí)變函數(shù)論第三版答案_第1頁(yè)
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1、 1 1. 證明：? ? B A A B ? ? 的充要條件是 A B ? . 證明：若? ? B A A B ? ? ，則 ? ? A B A A B ? ? ? ，故 A B ? 成立. 反之，若 A B ? ，則? ? ? ? B A A B A B B ? ? ? ? ，又 x B ? ? ，若 x A ? ，則 ? ? x B A A ? ? ，若 x A ? ，則 ? ? x B A B A A ? ? ? ? .總有 ?

2、? x B A A ? ? .故 ? ? B B A A ? ? ，從而有? ? B A A B ? ? 。 證畢 2. 證明 c A B A B ? ? . 證明： x A B ? ? ? ，從而 , x A x B ? ? ，故 , c x A x B ? ? ，從而 x A B ? ? ? ， 所以 c A B A B ? ? . 另一方面， c x A B ? ? ，必有 , c x A x B ? ? ，故 , x A x B

3、 ? ? ，從而x A B ? ? ，所以 c A B A B ? ? . 綜合上兩個(gè)包含式得c A B A B ? ? . 證畢 3. 證明定理 4 中的（3） （4） ，定理 6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 證明：定理 4 中的（3） ：若 A B ? ? ? （? ??） ，則 A B ? ? ? ? ?? ?? ? . 證：若x A ? ??? ? ，則對(duì)任意的? ??，有x A ? ? ，所以

4、 A B ? ? ? （? ? ?? ）成立 知 x A B ? ? ? ? ，故 x B? ??? ? ，這說(shuō)明 A B ? ? ? ? ?? ?? ? . 定理 4 中的（4） ： ( ) ( ) ( ) A B A B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 證：若 ( ) x A B ? ? ??? ? ，則有 ' ? ?? ，使 ' ' ( ) ( ) ( ) x A B A B

5、? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? . 反過(guò)來(lái)，若 ( ) ( ) x A B ? ? ? ? ?? ?? ? 則 x A ? ??? ? 或者 x B? ??? ? . 不妨設(shè) x A ? ??? ? ，則有 ' ? ?? 使 ' ' ' ( ) x A A B A B ? ? ? ? ? ??? ? ? ? . 故( ) ( ) ( ) A B A B ? ? ? ? ? ? ? ?? ??

6、?? ? . 3 01 ; A n? ? ? ? ? ? ?為奇數(shù) , ? ? 11 1 1 , , , , 3 2 1 A i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,問(wèn) ? ? ? ? 0 1 , F A F A 是什么. 解:若 ? ? ? ? ? ? ? ? 1,2,3,4 , 1,2 , 3,4 S A ? ? ,則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 1,2,3,4 , 1,2

7、, 3,4 F A ? ? . 若 01 1 1 1 1 ; 1,2,3, , ; 1, , , , 3 5 2 1 S n A n n i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為奇數(shù) , 則從 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , 3 5 2 1 2 4 2ci i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 易知 ? ? 1 1 1 1 1 1 , ,

8、1, , , , , , , , 3 5 2 1 2 4 2 F A S i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. ? ? 11 1 1 , , , , 3 2 1 A i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 令 1 1 ; 1,2, , ; 1,2, 2 1 2 B i C i i i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

9、? ?. ? ? ? ? ? ? 1 , F A S A K A B K C K A ? ? ? ? ? 為 的子集， 或 . 證明: 因?yàn)? ? 1 1 1 , , , , , 3 2 1 A B i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的任何子集 ? ? 1 F A . 所以有 ? ? 1 B F A ? ,而 c B C ? ,故 ? ? 1 C F A ? ,又 ? ? 1 F A ?? . 任取 B 的一子集

10、 A, ? ? 1 A A F A ? ? ? ,且 ? ? 1 A C F A ? . 顯 S A ? ,故只用證 A的確是一個(gè)? ? 域. (1) , c c S S A ? ? ? ?? ,且 B ? 的子集 A,若 K ? ?,則 , c K A A A C ? ? ?( B A ? 是 B 的子集,故? ? ? ?c c A A C F A ? ? ? ) 又 B ? 的子集 A,? ?c c c c A C A C A B

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