第二章農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)

1、第二章 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù),第一節(jié) 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的一般概念 第二節(jié) 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型的建立 第三節(jié) 柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù),第一節(jié) 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的一般概念,一、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的概念及分類二、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的三個(gè)階段,一、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的概念及分類,農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)是指把產(chǎn)品的產(chǎn)量隨著投入物數(shù)量的變化而變化的關(guān)系用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式表達(dá)出來(lái)，即產(chǎn)品產(chǎn)出的數(shù)量為投入物數(shù)量的函數(shù)。（一）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的基本性質(zhì) 1．客觀性 2．時(shí)空性 3

2、．純質(zhì)性 （二）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的表達(dá)方式 1．列表法 2．圖示法,圖 2－1 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù),3．?dāng)?shù)學(xué)式表達(dá)法,它是根據(jù)投入X與產(chǎn)出Y的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，采用回歸方法建立起一個(gè)方程式，即類似經(jīng)驗(yàn)公式的表達(dá)方法。 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)最一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： Q = F（X1，X2，…，Xn）式中：Q代表某種農(nóng)產(chǎn)品；X1，X2，…，Xn代表n種用于生產(chǎn)產(chǎn)品Q的可變投入，它們可以是生產(chǎn)資源，可以是經(jīng)濟(jì)資源，也可以是技術(shù)；F表示資源

3、投入與產(chǎn)品產(chǎn)出間的函數(shù)關(guān)系。,,生產(chǎn)函數(shù)方程式的經(jīng)濟(jì)含義是：在既定技術(shù)水平條件下，在某一時(shí)間內(nèi)為生產(chǎn)出Q數(shù)量的產(chǎn)品，需要相應(yīng)投入的X1，X2，…，Xn等生產(chǎn)要素的數(shù)量及其組合比例。,（三）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的分類,比例函數(shù)：是不改變各種生產(chǎn)要素的配合比例，使各種生產(chǎn)要素的投入量按某一比例增加，產(chǎn)量也相應(yīng)地按該比例增加。遞增函數(shù)：是各種生產(chǎn)要素的投入量都按某一比例增加，會(huì)使產(chǎn)量增加的比例大于要素投入量增加的比例，那么，收益就會(huì)隨生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大

4、而遞增。遞減函數(shù)：是各種生產(chǎn)要素的投入量都按某一比例增加，會(huì)使產(chǎn)量增加的比例小于要素投入量增加的比例，那么，收益就會(huì)隨生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大而遞減。,二、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的三個(gè)階段,（一）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)量的三種形式 1．總產(chǎn)量（TP）它是指一種可變資源的投入同其他生產(chǎn)要素投入的特定數(shù)量相結(jié)合所產(chǎn)生的產(chǎn)品數(shù)量總和。常用TP或Y表示。 2．平均產(chǎn)量（AP） 它是指每一單位可變資源平均提供的產(chǎn)品量。,3．邊際產(chǎn)量（MP）,它是指在其他生產(chǎn)要素

5、的投入量既定不變的條件下，每增加1單位某種可變資源的投入量所引起的總產(chǎn)量的增加量。,圖2－2 總產(chǎn)量、邊際產(chǎn)量 和平均產(chǎn)量曲線圖,,三條產(chǎn)量曲線的關(guān)系（如圖2－2所示）是：當(dāng)總產(chǎn)量曲線達(dá)到最高點(diǎn)A時(shí)，邊際產(chǎn)量為0；平均產(chǎn)量達(dá)到最高點(diǎn)B時(shí)，邊際產(chǎn)量曲線與平均產(chǎn)量曲線相交；邊際產(chǎn)量曲線達(dá)到最高點(diǎn)C時(shí)，總產(chǎn)量曲線從以遞增比率轉(zhuǎn)為以遞減比率增長(zhǎng)。,（二）生產(chǎn)彈性,它是用于反映產(chǎn)量增長(zhǎng)對(duì)于投入資源的敏感程度，即反映產(chǎn)

6、量增加幅度與資源增加幅度的比例關(guān)系。 當(dāng)資源用量增加1％，而產(chǎn)量增加幅度大于1％時(shí)，生產(chǎn)彈性大于1。因此，當(dāng)生產(chǎn)彈性大于1時(shí)，只要資源條件允許，就應(yīng)該增加資源用量以增加收益。當(dāng)資源用量增加1％，而產(chǎn)量增加幅度小于1％時(shí)，生產(chǎn)彈性小于1，這時(shí)資源投入量就要適可而止。,（三）農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)三階段,從原點(diǎn)起到平均產(chǎn)量最高點(diǎn)止，即生產(chǎn)彈性等于1時(shí)為第一階段；第一階段為相對(duì)不合理階段。以平均產(chǎn)量最高點(diǎn)到總產(chǎn)量最高點(diǎn)之間，即生產(chǎn)彈性大于0小于

7、1時(shí)為第二階段；第二階段為合理階段。總產(chǎn)量曲線最高點(diǎn)之后，即生產(chǎn)彈性等于0時(shí)為第三階段。第三階段為不合理階段。,第二節(jié) 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型的建立,一、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)建模程序 農(nóng)業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的回歸建模程序，主要分如下步驟：第一步：首先確定是否需要用生產(chǎn)函數(shù)。第二步：搜集資料。即由問(wèn)題性質(zhì)的需要來(lái)選取樣本數(shù)據(jù)（實(shí)驗(yàn)資料或調(diào)查資料）。第三步：將取得的樣本數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，并觀察散點(diǎn)分布規(guī)律，初步確定回歸模型，如一元回歸模型等。,,第四步：建

8、立問(wèn)題的回歸經(jīng)驗(yàn)方程，確定模型中的待定系數(shù)，求解。第五步：相關(guān)分析，檢驗(yàn)回歸方程的回歸效果。第六步：判定或明確生產(chǎn)函數(shù)式。如果在相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)達(dá)不到既定的要求（精度），則需檢查原因，或考察樣本，或重新判定回歸類型，直至相關(guān)性檢驗(yàn)達(dá)到顯著要求，方可完成函數(shù)形式的最后判定。第七步：應(yīng)用。,二、一元線性回歸函數(shù)模型的建立,（一）建立回歸方程 一元線性回歸是用來(lái)將一種生產(chǎn)要素投入量與一種產(chǎn)品產(chǎn)出量的線性相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線確定

9、型的函數(shù)模型。 因?yàn)閮蓚€(gè)變量間是直線關(guān)系，故用一元一次方程表示： Y = a＋bX,,由最小二乘法原理，當(dāng)X = X i（i = 1，2，3，…，n）時(shí)，樣本離差或稱誤差Q i（即實(shí)際產(chǎn)量Y i－理論產(chǎn)量? i）的平方和 最小時(shí)，則a、b所確定的直線才最接近已知的數(shù)據(jù)散點(diǎn)。,,再由數(shù)學(xué)分析中求極值原理可知，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)，有極值。因此，要使

10、誤差平方和Q極小，只有分別對(duì)a、b求偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于0。把上面的分析列成方程，則有：,,當(dāng)： 即 Q達(dá)到最小。 整理上式得：,（二）相關(guān)分析,將有關(guān)系數(shù)代入下列公式，求出r系數(shù)，判定其相關(guān)顯著程度。其公式為：,表2－1 棉花施肥量與畝產(chǎn)量的產(chǎn)量資料,表2－2 參數(shù)計(jì)算表,,把表2－2中的計(jì)算結(jié)果代入公式，即可求出： a＝120．99 b＝0．829因此，棉花生產(chǎn)過(guò)程中，施肥量與畝產(chǎn)量的函數(shù)式

11、為： Y = 120．99＋0．829X r = 0．937,三、多元線性回歸模型的建立,現(xiàn)以二元回歸分析為例，說(shuō)明建立多元線性回歸方程的基本過(guò)程。設(shè)投入因素有X1和X2兩個(gè)，共有n組數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分布可擬合為一直線。即：式中：b0是常數(shù)項(xiàng)；b1、b2分別為Y對(duì)X1、X2的回歸系數(shù)。,,要求確定b0、b1、b2值，使得總誤差（或誤差平方和）達(dá)到極小。即：達(dá)到極小。 此時(shí)，根據(jù)最小二乘法，必須滿足

12、：,,整理上式得；,,多元線性回歸相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：,,四、非線性回歸模型的建立,（一）拋物線回歸模型的建立 根據(jù)給出的資料，作散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)分布呈拋物線，故選用拋物線回歸模型。 Y＝a＋bX＋cX2 為了計(jì)算方便，可令X／= X2，這樣拋物線回歸模型轉(zhuǎn)化為二元回歸模型，即Y=a＋bX＋CX／，其求解原理同二元回歸模型。,表2－3 投入產(chǎn)出資料,,第一步：畫出散點(diǎn)圖，列出回歸

13、模型。初步判斷為拋物線，可確立拋物線的回歸模型。如： Y＝a＋bX＋cX2第二步：列出計(jì)算表，見表2－4。,表2－4 計(jì)算表,,第三步：代入公式求解。 6a＋28b＋210c＝19．0 28a＋210b＋1756c＝111．3 210a＋1756b＋15 474c＝859．9通過(guò)行列式求解，得：a = 1．304 788，b = 0．772 744，c = －0．049 836。 因此

14、，得回歸方程： ? = 1．304 788＋0．772 744X－0．049 836X2,,第四步：結(jié)果分析。 由曲線回歸方程計(jì)算的理論值?與實(shí)際值Y相當(dāng)接近，說(shuō)明此方程符合實(shí)際。 再對(duì)上述方程求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0。 X = 7．75,（二）對(duì)數(shù)回歸模型的建立,對(duì)數(shù)回歸是反映產(chǎn)量Y和變量X的對(duì)數(shù)成相關(guān)關(guān)系，其一般模型為： Y = a＋blnX式中：X代表投入量；a

15、、b代表待定系數(shù)。 為了計(jì)算方便，可令lnX = X/，這樣對(duì)數(shù)回歸模型就轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型，即Y = a＋bX/，其求解原理與一元線性回歸模型完全一樣。,五、生產(chǎn)函數(shù)建模中應(yīng)注意的問(wèn)題,建立合理的生產(chǎn)函數(shù)模型必須正確考慮四個(gè)因素，即數(shù)據(jù)的科學(xué)性、變量的選擇、模型的選擇、估計(jì)方法以及模型的檢驗(yàn)，最終可歸結(jié)為變量及模型兩類因素。,第三節(jié) 柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù),一、柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型 美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家道格拉斯（P．H．D

16、ouglas）與數(shù)學(xué)家柯布（ C．W．Cobb）合作，根據(jù)美國(guó)1899－1922年的歷史資料，研究了勞動(dòng)投入與資本投入和產(chǎn)出之間的相關(guān)關(guān)系，得出這一方程。 Y＝ KLαC(1－α) 或 Y＝KLαCβ （α+ β =1）式中：Y代表產(chǎn)出量；K代表常數(shù)；L代表勞動(dòng)投入量；C代表資本投入量； α 、（1－ α ）代表效益系數(shù)。上式中，勞動(dòng)投放量和資本投入量的效益系數(shù)之和為1，稱之

17、為收益守恒。,一般模型：,( Y＝ALαKβeδt)式中：Y表示產(chǎn)出； X1表示勞動(dòng)投入量；X2表示資本投入量；a、b1、b2為參數(shù)。 在農(nóng)業(yè)中，主要的投入要素為土地、勞力和資金三項(xiàng)，因而農(nóng)業(yè)上的柯布—道格拉斯函數(shù)模型一般為：式中：X1、X2、X3分別為土地、勞力和資金的投入量。通式,二、柯布—道格拉斯函數(shù)模型的經(jīng)濟(jì)意義和特點(diǎn),（一）柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義通過(guò)柯布—道格拉斯函數(shù)式，分別對(duì)X1和X2求Y的編導(dǎo)數(shù)

18、。 則,,從公式可知，b1與b2分別表示勞動(dòng)投入與資本投入的生產(chǎn)彈性。 b1是勞動(dòng)投入的生產(chǎn)彈性，它表示一定比率的勞動(dòng)投入所引起的一定比率的產(chǎn)出變化，即勞動(dòng)投入所引起的邊際產(chǎn)出除以勞動(dòng)投入的平均產(chǎn)出。 b2是資本投入的生產(chǎn)彈性，它表示一定比率的資本投入所引起的一定比率的產(chǎn)出變化，即資本投入所引起的邊際產(chǎn)出除以資本投入的平均產(chǎn)出。 a是轉(zhuǎn)換系數(shù)，它表示除生產(chǎn)要素X1，X2，X3，…

19、，Xn以外，其他要素對(duì)產(chǎn)出量的影響。,（二）柯布—道格拉斯函數(shù)模型的特點(diǎn),第一，可以線性化，建模計(jì)算比較容易。對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上的柯布—道格拉斯函數(shù)兩邊同取對(duì)數(shù)，為： lnY= ln a＋b1ln X1＋b2ln X2＋b3ln X3 令 Y= ln Y A=lna X1 = ln X1 X2 = ln X2

20、 X3 = ln X3 則上式就成了 Y＝a＋b1X1＋b2 X2＋b3 X3,,第二，與變量的量綱無(wú)關(guān)，計(jì)算方便。 第三，所有的投入都必須大于0。第四，彈性值（即效益系數(shù)）的解釋明確而且容易。函數(shù)系數(shù)等于各項(xiàng)投入的b值之和，即B=b1+b2+……+bn。當(dāng)函數(shù)系數(shù)大于1，產(chǎn)出值以遞增的速度增加；當(dāng)函數(shù)系數(shù)等于1，產(chǎn)出值以固定的速度增加；當(dāng)函數(shù)系數(shù)小于1，產(chǎn)出值以遞減的速度增加；,三、柯

21、布—道格拉斯函數(shù)建模和分析的主要步驟,（一）明確農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的性質(zhì)，確定選用道格拉斯函數(shù)模型是否適宜函數(shù)模型為： （二）搜集整理數(shù)據(jù)資料 根據(jù)模型要求，研究者收集了如上八個(gè)方面2000年各農(nóng)業(yè)小組的資料，并進(jìn)行了整理。（三）建立生產(chǎn)函數(shù)模型如下,（四）對(duì)計(jì)測(cè)結(jié)果和模型 進(jìn)行檢驗(yàn)和經(jīng)濟(jì)分析,1．R2=0．8728，表示總收入變化的87．28％，可用模型中的7個(gè)變量要素來(lái)說(shuō)明，模型是合理的。 2．

22、生產(chǎn)彈性值分析 模型中，a1—a7，分別為要素X1—X7的生產(chǎn)彈性值。a1為X1（土地）的生產(chǎn)彈性值，表示在其他條件保持不變的情況下，如果X1增加1％，則農(nóng)業(yè)總收入就會(huì)增加0．5202％，意即農(nóng)場(chǎng)在當(dāng)時(shí)條件下，若耕地面積增加312畝則種植業(yè)總收入就會(huì)增加2．77萬(wàn)元。其余類推。,3．邊際生產(chǎn)力的分析,對(duì)生產(chǎn)函數(shù)模型 分別求各自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則,求得各種資源的邊際生產(chǎn)力水平如下：,,,上面的結(jié)果表示，在農(nóng)場(chǎng)當(dāng)時(shí)生

23、產(chǎn)條件下，當(dāng)其他生產(chǎn)要素不變時(shí)： 每增加1畝耕地，種植業(yè)總收入就增加89元； 每增加1個(gè)勞力，總收入就減少45．7元； 每增加1元化肥，總收入僅增加0．444元； 每增加1元農(nóng)藥，總收入會(huì)增加2．509元； 每增加100元機(jī)械作業(yè)費(fèi)，總收入僅增加 21．39元； 每增加100元企業(yè)管理費(fèi)，總收入減少83．24元； 每增加100元共同生產(chǎn)費(fèi)，總收入減少0．10元。,4．綜合分析和評(píng)價(jià)結(jié)論,（1）上述結(jié)果表明，長(zhǎng)江農(nóng)場(chǎng)土地資源

24、彈性值和邊際生產(chǎn)力都較高，因而在當(dāng)時(shí)生產(chǎn)條件下應(yīng)盡量擴(kuò)大種植面積，而農(nóng)場(chǎng)只有耕地33 762．5畝，僅占土地面積56．27％，機(jī)耕路、溝渠等竟占總土地面積的14．82％，占耕地面積的26．33％（見表4－1），,表4－1 長(zhǎng)江農(nóng)場(chǎng)土地占用情況一覽表,,（2）農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)費(fèi)用中商品肥增加較快，2000年占生產(chǎn)費(fèi)用的10．3％，出現(xiàn)了過(guò)量施肥現(xiàn)象。對(duì)農(nóng)場(chǎng)畝化肥量和糧食產(chǎn)量進(jìn)行回歸分析得出如下經(jīng)驗(yàn)公式： Y=－1048．74＋838

25、．63lgX式中：Y為糧食畝產(chǎn)量（千克）；X為施化肥量（千克） R2=0．9617，極顯著。 對(duì)上述回歸公式進(jìn)行邊際分析，得化肥施用最佳量為135千克。因此應(yīng)控制化肥施用量，不宜超過(guò)135千克，否則會(huì)增產(chǎn)不增收。,,（3）農(nóng)場(chǎng)畝生產(chǎn)費(fèi)用中企業(yè)管理費(fèi)已占到14．8％，不論從其生產(chǎn)彈性值還是邊際生產(chǎn)力分析來(lái)看，企業(yè)管理費(fèi)的增加都只能減少收入，因而應(yīng)進(jìn)一步壓縮非生產(chǎn)性開支，努力節(jié)減行政辦公、招待費(fèi)用之類。 （4）以上分析均

26、在當(dāng)時(shí)生產(chǎn)技術(shù)水平下進(jìn)行，為長(zhǎng)遠(yuǎn)計(jì)，應(yīng)從根本上考慮如何進(jìn)一步革新生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)技術(shù)。,四、增長(zhǎng)速度方程,增長(zhǎng)速度方程是描述投入要素增長(zhǎng)速度、產(chǎn)出增長(zhǎng)速度與科技進(jìn)步速度之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是從柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)通過(guò)微分計(jì)算得到的： Y=A（t）tF（K，L）兩端求全導(dǎo)數(shù)，得：在上式兩端除以Y，并定義：,,則有： 令：或 δ =Y－αk－βl （α＋β=1）式中：Y、k、l分別是產(chǎn)出量、資本投入量和勞動(dòng)投入量的增

27、長(zhǎng)率。,科技進(jìn)步率(δ),農(nóng)業(yè)產(chǎn)出量的年增長(zhǎng)率被分解成三個(gè)部分，其中兩個(gè)部分是資本和勞動(dòng)投入的年增長(zhǎng)率各自引起的農(nóng)業(yè)產(chǎn)量增長(zhǎng)的那部分年增長(zhǎng)率。 第三部分則是δ表示的靠科技進(jìn)步實(shí)現(xiàn)的農(nóng)業(yè)產(chǎn)出量增長(zhǎng)的那一部分年增長(zhǎng)率。也就是說(shuō)，年科技進(jìn)步率是產(chǎn)出年增長(zhǎng)率扣除資本和勞動(dòng)投入的增長(zhǎng)率后的產(chǎn)出增長(zhǎng)率的余值。,五、綜合要素生產(chǎn)率指數(shù),由索羅（Solow，1957年）和丹尼森（Denison，1967年）提出的測(cè)算公式，把生產(chǎn)要素份額作為權(quán)數(shù)將單個(gè)

28、投入數(shù)列匯到一個(gè)總投放數(shù)列中去，然后用總產(chǎn)出數(shù)列除以總投放數(shù)列，得到總要素生產(chǎn)率指數(shù)（ Total Factor Productivity，簡(jiǎn)稱TFP）。 綜合要素生產(chǎn)率指數(shù)法又分為三種：幾何指數(shù)法、算術(shù)指數(shù)法和Thed－Tornqvist超越對(duì)數(shù)指數(shù)法。,幾何指數(shù)法,幾何指數(shù)法的基本思路是：在計(jì)算出各年的綜合要素生產(chǎn)率后，把基期年份的綜合要素生產(chǎn)率為100，求出各年的生產(chǎn)率指數(shù)，其指數(shù)的變化率就是科技進(jìn)步率?；竟剑?

29、 P=Y／（KαLβ）,算術(shù)指數(shù)法,算術(shù)指數(shù)法的基本公式為： 式中：Yt、Y0為t年和基期年產(chǎn)出；ωi代表不同投入要素的價(jià)格；Xit、Xi0分別為t年和基期年各種要素的投入水平。而科技進(jìn)步貢獻(xiàn)率則是全要素生產(chǎn)率TFPi和產(chǎn)出變化率Y′的比率。,Thed－Tornqvist超越對(duì)數(shù)指數(shù)法,Thed－Tornqvist超越對(duì)數(shù)指數(shù)法的基本公式為： 式中：Sit、Si0分別表示t年和基年投入要素費(fèi)用占總產(chǎn)值份額或投入要素的生產(chǎn)