數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)第五版 第二章

1、2.1 概述,基本概念 邏輯： 事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)： 邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值： 0/1,2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算,與（AND） 或（OR） 非（NOT）,以 A=1表示開關(guān) A合上，A=0表示開關(guān) A斷開； 以 B=1表示開關(guān) B合上，B=0表示開關(guān) B斷開；

2、 以 Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮。,,三種電路的因果關(guān)系不同。,與(邏輯),條件同時(shí)具備，結(jié)果發(fā)生。 Y=A AND B = A&B=A·B=AB,或(邏輯),條件之一具備，結(jié)果發(fā)生。Y= A OR B = A+B,非(邏輯),條件不具備，結(jié)果發(fā)生,幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,與非,或非,與或非,幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,異或Y= A ? B,幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算,同或Y= A⊙B,2.3.1

3、基本公式,根據(jù)與、或、非的定義，得出下表的布爾恒等式,證明方法：推演或真值表,2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式,公式（17）的證明（公式推演法）：,A + B · C = (A +B) ·(A +C),公式（17）的證明（真值表法）：,2.3.2 若干常用公式,,,,這些公式在P25~P26都有證明,,,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.1 代入定理 在任何一個(gè)包含A的邏輯等式中，若以另外

4、一個(gè)邏輯式代入到式中A的位置，則等式依然成立。,2.4.1 代入定理,應(yīng)用舉例1： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(EF) = (A+B)(A+EF) = (A+B)(A+E)(A+F),,應(yīng)用舉例2： 式 （8）,,2.4.2 反演定理,對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“ · ”換成“ + ”， “ + ” 換成“ · ”， 0換成

5、1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是 。這個(gè)規(guī)律稱為反演定理。,2.4.2 反演定理 -------對(duì)任一邏輯式,運(yùn)算順序: 先括號(hào)， 然后乘，最后加,不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)保留不變,用反演定理便于求已知邏輯式的反邏輯表達(dá)式。,,應(yīng)用舉例：,,2.4.3 對(duì)偶定理,對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等.,則得到一個(gè)新的邏輯式Y(jié)D，這個(gè)YD就稱為Y的對(duì)偶式，或者說Y和YD

6、互為對(duì)偶式。,對(duì)偶式舉例： 若Y=A(B+C)，則YD=A+BC；,對(duì)偶式的定義：對(duì)于任何一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中的,對(duì)偶式應(yīng)用舉例：基本公式（17）的證明。,2.5.1 邏輯函數(shù),2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法,Y=F(A,B,C,······),若以邏輯變量為輸入，邏輯運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種邏輯函數(shù)(l

7、ogic function)關(guān)系。,注: 在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值 0/1。,2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法,真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計(jì)算機(jī)軟件中的描述方式 各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。,真值表,邏輯式 將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。邏輯圖 用邏輯圖形符號(hào)表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。波形

8、圖 將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。,波形圖舉例：,卡諾圖EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language),舉例：舉重裁判電路,邏輯式,邏輯圖,真值表,由真值表求邏輯表達(dá)式,,由（22）式,各種表達(dá)形式的相互轉(zhuǎn)換：,真值表 邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表A=0,B=1,C=1使 A′BC=1A=1,B

9、=0,C=1使 AB′C=1A=1,B=1,C=0使 ABC′ =1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以 Y= ?,,真值表 邏輯式找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得 Y。,,,,邏輯式 真值表 把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)代入邏 輯式中求出Y，列表。,邏輯式

10、 邏輯圖 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。,,邏輯圖 邏輯式從輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。,,波形圖 真值表詳見教材P34-35，例2.5.5,,什么是最小項(xiàng) m (miniterm) ？m是乘積項(xiàng)；包含n個(gè)因子；n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在m中只出現(xiàn)一次。,對(duì)于有n個(gè)變量的函數(shù)，共有2n個(gè)最小項(xiàng)。,2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 一種是“最

11、小項(xiàng)之和” ，另一種是“最大項(xiàng)之積”。,最小項(xiàng)舉例：,兩變量A, B的最小項(xiàng)三變量A,B,C的最小項(xiàng),在最小項(xiàng)中再添加任何一個(gè)變量都是多余的,最小項(xiàng)的編號(hào)：,,使各最小項(xiàng)等于1的ABC組合,最小項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。全體最小項(xiàng)之和為1 。任何兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0 。兩個(gè)相鄰的最小項(xiàng)之和可以合并，消去一對(duì)因子，只留下公共因子。 相鄰：僅一個(gè)變量不同的最小項(xiàng)

12、 如,邏輯函數(shù)最小項(xiàng)之和的形式：,例1：,利用公式可將任何一個(gè)函數(shù)化為,例2：,=… …,最大項(xiàng)M (maxterm)：,M是相加項(xiàng)；包含n個(gè)因子；n個(gè)變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。如：兩變量A, B的最大項(xiàng),對(duì)于n個(gè)變量的函數(shù)有2n個(gè)最大項(xiàng),最大項(xiàng)的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0；全體最大項(xiàng)之積為0；任何兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1；只有一個(gè)變量不同的最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之

13、和。,最大項(xiàng)的編號(hào)：,,使最大項(xiàng)等于零的各ABC組合,2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換(自學(xué)),詳見P38—P39。 通過例2.5.8 搞清楚用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)時(shí), 的關(guān)系.,作業(yè)：P582.2 (1), 2.4(a), 2.5(2), 2.7(a),2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法,邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)形式 最簡(jiǎn)與或形式:

14、 包含的乘積項(xiàng)已經(jīng)最少，每個(gè)乘積項(xiàng)的因子也最少，稱為最簡(jiǎn)的與或邏輯式。,?,?,2.6.1 公式化簡(jiǎn)法,,,反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子。,例：,,,,,,,,,P40～P42, 例2.6.1～例2.6.7,2.6.2 卡諾圖化簡(jiǎn)法,邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法:實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和, 以圖形的方式表示出來。以2n個(gè)小方塊分別代表 n 個(gè)變量的所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩

15、個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的（只有一個(gè)變量不同），就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖。,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,,,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,,,表示最小項(xiàng)的卡諾圖,二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖,四變量的卡諾圖,五變量的卡諾圖,

16、用卡諾圖表示邏輯函數(shù),1. 將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式 。,2. 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上填入1，其余地方填0。,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),例：,將相應(yīng)的最小項(xiàng)填入卡諾圖：,用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項(xiàng)的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。,合并最小項(xiàng)的原則：1)兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子。2)四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合

17、并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子。3)八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子。,兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子,,,,,,,四個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子,,,,,化簡(jiǎn)步驟： 1)用卡諾圖表示邏輯函數(shù)； 2)找出可合并的最小項(xiàng)； 3)化簡(jiǎn)后的乘積項(xiàng)相加。 （使最后得到的邏輯函數(shù)項(xiàng)數(shù)最少，每項(xiàng) 的因子最少。）,用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),卡諾圖化簡(jiǎn)的原則,應(yīng)包含函數(shù)式

18、的所有最小項(xiàng)，即覆蓋圖中所有的1。乘積項(xiàng)的數(shù)目最少，即圈成的矩形數(shù)最少。每個(gè)乘積項(xiàng)因子最少，即圈成的矩形最大。,例1：,A,BC,例1：,,,,,A,BC,例1：,,,A,BC,,,,例1：,,,化 簡(jiǎn) 結(jié) 果 不 唯 一 !,例2：,AB,CD,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,,,,約束項(xiàng)---由約束條件確定，其值恒等于零 的最小項(xiàng)。,2.7 具

19、有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)2.7.1 約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng),任意項(xiàng)---有些最小項(xiàng)，其取值為1或0, 對(duì)函 數(shù)沒有影響。,邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng) 可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng)(don’t care term)。,2.7.2 無關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用,合理地利用無關(guān)項(xiàng)，可得到更簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)結(jié)果。加入（或去掉）無關(guān)項(xiàng)，應(yīng)使化簡(jiǎn)后的項(xiàng)數(shù)最少，每

20、項(xiàng)因子最少。,從卡諾圖上直觀地看，加入無關(guān)項(xiàng)的目的是為了矩形圈最大，矩形組合數(shù)（圈數(shù)）最少。,AB,CD,X,X,X,X,X,X,X,0,0,0,0,0,0,,,,例：,AB,CD,,,,,,2.8 用multisim進(jìn)行邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)與變換,例:已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下,試用multisim求出Y的邏輯函數(shù)式,并將其化簡(jiǎn)為與-或形式,精品課件！,精品課件！,作業(yè)：P61～P64 2.12(2), 2.15(