第三章 扭轉2

1、第 3 章 扭 轉（Torsion)（第二講）,工程中的三類問題,在已知荷載、構件的截面尺寸以及材料的情況下，對構件進行強度、剛度校核。即,1. 強度、剛度校核,2. 截面設計,在已知荷載和選定了構件所用材料后，可確定構件所需的橫截面面積。即,由強度、剛度求得二個面積，取大的面積作為容許使用面積。,3. 計算容許荷載,在已知構件橫截面面積及材料的容許條件下，可確定構件能夠承受的荷載。即,由強度、剛度條件所求得的二個荷載，應取小的荷載

2、作為容許荷載。,§3-5 等值圓桿扭轉時的變形剛度條件,,微段變形,1、圓軸扭轉時的變形,整體變形,,微段變形累加的結果,若T=Const，等直桿，則,—扭轉角,若為階梯軸，則,1、圓軸扭轉時的變形,GIp —扭轉剛度,例：圓軸直徑d=100mm，l=0.5m， Me1 =7kN·m，Me2= 5kN·m，G=82GPa，求C截面對A截面的相對扭轉角。,解：,,x,（負號表示從x軸正向看去，C截面相對

3、于A截面順時針轉動）,扭矩圖：,解：O1截面：,由,μ = 0.28,,,例：直徑d=25mm的等直圓鋼桿，受軸向拉力 60kN作用時，在標距為200mm的長度內(nèi)伸長了0.113mm；當它受一對矩為0.2kN·m的外力偶作用而扭轉時，在標距為200mm的長度內(nèi)扭轉了0.732o的角度。求鋼材的彈性常數(shù)E、G和?。,解：,,例：直徑d=25mm的等直圓鋼桿，受軸向拉力 60kN作用時，在標距為200mm的長度內(nèi)伸長了0.113

4、mm；當它受一對矩為0.2kN·m的外力偶作用而扭轉時，在標距為200mm的長度內(nèi)扭轉了0.732o的角度。求鋼材的彈性常數(shù)E、G和?。,0.732o=,,G=81.7GPa,由,? = 0.32,,2、圓軸扭轉時的剛度條件,扭轉構件除了需滿足強度條件外，還需對它的扭轉變形加以限制，即要滿足剛度方面的要求，否則就不能正常工作。為了準確反映軸的扭轉變形，工程中通常采用單位長度內(nèi)的扭轉角來度量變形的程度，即,剛度條件：,為單位長度

5、的許用扭轉角,單位：弧度/米（rad/m）,工程中常采用度/米（o/m），則剛度條件可變換為,2、圓軸扭轉時的剛度條件,2、圓軸扭轉時的剛度條件,剛度條件,中，應注意單位的統(tǒng)一。,的單位分別為N.m，Pa,,,例：傳動軸的轉速 n=500r/min，主動輪1的輸入功率P1=500馬力，從動輪2、3的輸出功率分別為P2=200馬力， P3=300馬力，已知,（1）試確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2。（2）若AB和BC兩段選用同一直

6、徑，試確定直徑d。（3）主動輪和從動輪如何安排才比較合理。,例：n=500r/min，P1=500馬力，P2=200馬力， P3=300馬力，已知,（1）試確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2。（2）若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定直徑d。（3）主動輪和從動輪如何安排才比較合理。,解：,計算外力偶矩,扭矩圖：,（1）確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2,根據(jù)強度條件：,可確定AB段的直徑：,例：n=500r/min，

7、P1=500馬力，P2=200馬力， P3=300馬力，已知,根據(jù)強度條件：,根據(jù)剛度條件：,可確定AB段的直徑：,取d1=85mm,例：n=500r/min，P1=500馬力，P2=200馬力， P3=300馬力，已知,根據(jù)強度條件確定BC段的直徑：,根據(jù)剛度條件確定BC段的直徑：,取d2=75mm,例：n=500r/min，P1=500馬力，P2=200馬力， P3=300馬力，已知,（2）若AB和BC兩段選用同一直徑，軸的直徑取d

8、=85mm,（3）主動輪和從動輪任何安排才比較合理？,主動輪放在兩從動輪之間，可使最大扭矩取最小值，所以這種安排較合理。,例：n=500r/min，P1=500馬力，P2=200馬力， P3=300馬力，已知,§3-6 等值圓桿扭轉時的應變能,剪切應變能,固體受外力作用而變形。在變形過程中，外力所作的功將轉變?yōu)閮Υ嬗诠腆w內(nèi)的能量。當外力逐漸減小時，變形逐漸恢復，固體又將釋放出儲存的能量而作功。,固體在外力作用下，因變形

9、而儲存的能量稱為應變能。,由功能原理，固體的應變能Vε在數(shù)值上等于外力所作的功W,Vε= W,設左側面固定，則右側面剪力為右側面向下錯動的距離為,剪切應變能密度,,剪切胡克定律,這表明vε等于τ-γ曲線下的面積,應用——柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形,,螺旋彈簧簧絲的軸線是一條空間螺旋線，其應力和變形很復雜。但當螺旋角α很小時（ α<50)，便可省略α的影響，認為簧絲橫截面與彈簧軸線在同一平面內(nèi)。這種彈簧稱為密圈螺旋彈簧。,應用—

10、—圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形,,取簧絲的任意橫截面作研究對象，由平衡方程得 FS=F，T=FD/2,FS----簧絲橫截面上的剪力T----橫截面上的扭矩。,一、彈簧絲橫截面上的應力,一、彈簧絲橫截面上的應力,與剪力FS對應的切應力,與扭矩T對應的最大切應力,在靠近內(nèi)側點A處，總應力最大,一、彈簧絲橫截面上的應力,最大總應力,當 時，可略去剪力（第一項）的影響,當 時，需

11、考慮剪力及簧絲曲率的影響，最大切應力可用修正公式計算,C=D/d——彈簧指數(shù),彈簧的強度條件,二、彈簧的變形,應用——圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形,二、彈簧的變形,由W=Vε，得,其中R=D/2是彈簧圈的平均半徑,令 ——彈簧剛度,例：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑D=300mm，簧絲橫截面直徑d=30mm，有效圈數(shù)n=10，受力前彈簧的自由長度為400mm，材料的[τ]=140MPa，G=82GP

12、a。試確定彈簧所能承受的壓力（注意彈簧可能的壓縮量）。,解：彈簧指數(shù)C=D/d=300/30=10,由強度條件,,,F≤4300N,例：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑D=300mm，簧絲橫截面直徑d=30mm，有效圈數(shù)n=10，受力前彈簧的自由長度為400mm，材料的[τ]=140MPa，G=82GPa。試確定彈簧所能承受的壓力（注意彈簧可能的壓縮量）。,,,,F≤3070N,彈簧的最大壓縮量為 λmax=400-10d=100mm,由

13、剛度條件，則有,彈簧所能承受的壓力F=min{4300, 3070}=3070N,§3-7 等直非圓桿自由扭轉的應力和變形,矩形截面桿扭轉切應力,變形特征,翹曲,矩形截面桿扭轉切應力,由平衡直接得到的結論,角點切應力等于零,邊緣各點切應力沿切線方向,矩形截面桿自由扭轉時的切應力,,,切應力分布,角點切應力等于零,邊緣各點切應力沿切線方向,最大切應力發(fā)生在長邊中點,? 矩形截面桿扭轉切應力,T,切應力分布,(1) 角點切應