相依更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的漸近尾行為.pdf

1、對(duì)于集體風(fēng)險(xiǎn)理論的系統(tǒng)研究最早可追溯到Lundberg1903年完成的博士論文,在其中他首次提出了古典風(fēng)險(xiǎn)模型的概念。在這一經(jīng)典模型中,保險(xiǎn)公司的索賠具有隨機(jī)的索賠額,索賠發(fā)生的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布。另外,該模型還假設(shè)索賠額和時(shí)間間隔各自構(gòu)成一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,而且這兩列隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。因此保險(xiǎn)公司的累計(jì)索賠(風(fēng)險(xiǎn))過程是一個(gè)復(fù)合泊松過程。Cramér早期對(duì)此模型的發(fā)展和完善作出了卓越的貢獻(xiàn),所以此模型又被稱為Gramér-

2、Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型。上世紀(jì)中葉,Sparre Andersen(1957)提出了更新風(fēng)險(xiǎn)模型,以此作為復(fù)合泊松模型的自然推廣。在這一更廣泛的風(fēng)險(xiǎn)模型中,索賠發(fā)生的時(shí)間間隔獨(dú)立同分布于任意的分布函數(shù)(不一定是指數(shù)分布)。結(jié)合一些其它的模型因子(例如初始資產(chǎn),保費(fèi)收入等)和經(jīng)濟(jì)因子(例如利率,分紅,賦稅,投資回報(bào)等),更新風(fēng)險(xiǎn)模型可以很好的刻畫非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù),因此它一直以來被大量學(xué)者廣泛的研究。但是,更新模型距離實(shí)際情況仍然相去甚遠(yuǎn)。主要

3、因?yàn)樵谟?雖然更新模型已經(jīng)放寬了對(duì)索賠間隔分布的要求,但它依然保留了很多不切實(shí)際的假設(shè),比如索賠額的同分布性,索賠額之間的獨(dú)立性,以及索賠額與其等待時(shí)間的獨(dú)立性,其中對(duì)于各種隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性假設(shè)尤為不現(xiàn)實(shí)。受更新模型這些缺陷的啟發(fā),這篇博士論文主要效力于討論幾類帶有相依結(jié)構(gòu)的更新風(fēng)險(xiǎn)模型。我們研究的相依結(jié)構(gòu)既包括索賠額之間的相依,又包括索賠額與其等待時(shí)間的相依。為書寫簡(jiǎn)便和避免混淆,我們將這些推廣的更新風(fēng)險(xiǎn)模型統(tǒng)稱為“非標(biāo)準(zhǔn)”更新風(fēng)

4、險(xiǎn)模型,而將原始的更新風(fēng)險(xiǎn)模型叫做“標(biāo)準(zhǔn)”更新風(fēng)險(xiǎn)模型。在帶有相依結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)模型下,許多傳統(tǒng)的處理方法(比如一些依賴獨(dú)立平穩(wěn)增量的方法)不再有效,所以在一般情況下幾乎不可能對(duì)此類模型所涉及的問題得到精確結(jié)果。因此,我們要利用漸近尾概率的方法進(jìn)行我們的研究。粗略來說,我們假設(shè)模型中的隨機(jī)變量是重尾的,并設(shè)法得到我們感興趣的隨機(jī)過程的尾概率的精確漸近式,然后我們利用所得到的漸近公式,可以進(jìn)一步研究一些重要的保險(xiǎn)量,比如有限時(shí)間和無限時(shí)間的破

5、產(chǎn)概率等。本研究分為六個(gè)部分：
　　 第一章給出了論文主體的綱要,從中讀者可以了解到后續(xù)章節(jié)的一些要點(diǎn)。
　　 第二章用于詳細(xì)介紹一些重要的分布族及其基本性質(zhì).雖然這一章主要集中于重尾情況,但一些有緊密關(guān)聯(lián)的輕尾分布族也被考慮在內(nèi).我們的討論基本覆蓋了所有重尾分布族,包括長(zhǎng)尾分布族,次指數(shù)分布族,正規(guī)變化分布族等等。其中,次指數(shù)分布族被公認(rèn)為足一類足夠豐富的分布族,它基本涵蓋了風(fēng)險(xiǎn)理論中所有常用的分布,比如Pareto分

6、布,對(duì)數(shù)正態(tài)分布,重尾Weibull分布等等。作為次指數(shù)分布族的一個(gè)重要子族,正規(guī)變化分布族也值得深入的探討,不僅因?yàn)樗廊话撕芏嗔餍械闹匚卜植?如Pareto分布,Burr分布,對(duì)數(shù)gamma分布,以及Student’s t-分布),而且還因?yàn)樗旧硭哂械姆浅：玫臄?shù)學(xué)性質(zhì),這些性質(zhì)通常能幫助我們得到很簡(jiǎn)潔明了的漸近公式。除了具體的原始定義之外,本章中我們還會(huì)給出各類分布族的一些基本而重要的性質(zhì)。這些性質(zhì)不僅有自身的理論價(jià)值,而且

7、還將被后續(xù)章節(jié)頻繁引用。
　　 第三章探討一類非標(biāo)準(zhǔn)更新風(fēng)險(xiǎn)模型的折現(xiàn)累計(jì)索賠的漸近尾行為。本章中,我們考慮的更新模型帶有常數(shù)利率,索賠額服從相同的分布,但索賠額之間并不是完全獨(dú)立的。我們假設(shè)索賠額分布屬于廣義正規(guī)變化族(ERV),并且索賠額具有兩兩漸近獨(dú)立性(也即任意兩個(gè)索賠額的聯(lián)合分布的尾相對(duì)于邊際分布的尾在漸近意義下是可以忽略的).在這些假設(shè)下,我們得到了一個(gè)精確的漸近公式,此公式對(duì)所有固定的時(shí)間水平(包括無窮)都是成立的

8、。進(jìn)一步,我們利用此公式研究相應(yīng)的破產(chǎn)概率,并證明了有限時(shí)間和無限時(shí)間破產(chǎn)概率和對(duì)應(yīng)時(shí)間下的折現(xiàn)累計(jì)索賠的尾概率具有相同的漸近行為。
　　 第四章所研究的非標(biāo)準(zhǔn)更新模型除了帶有常數(shù)利率外,每個(gè)索賠額與其等待時(shí)間具有相依關(guān)系。受最近Asimit和Badeseu2010年發(fā)表的論文的啟發(fā),我們?cè)诿總€(gè)索賠額與其等待時(shí)間之間引入一類回歸型的相依結(jié)構(gòu)。可以驗(yàn)證,這種相依結(jié)構(gòu)被許多常用的二元copula所滿足。我們致力于這種相依結(jié)構(gòu)對(duì)折現(xiàn)累

9、計(jì)索賠的漸近尾行為的影響.在索賠額分布是次指數(shù)分布的假設(shè)下,我們得到了一個(gè)對(duì)時(shí)間具有局部一致性的漸近公式,它在形式上成功的體現(xiàn)出相依結(jié)構(gòu)的影響。當(dāng)索賠額分布被限制在ERV族中時(shí),我們可以證明所得到的漸近公式是整體一致的。如果保費(fèi)率也是常數(shù),那么我們的結(jié)果可以直接用于估計(jì)相應(yīng)的有限時(shí)間和無限時(shí)間破產(chǎn)概率。值得一提的是,本章中所考慮的相依結(jié)構(gòu)是一種全新的相依結(jié)構(gòu),而且它兼具實(shí)用性和數(shù)學(xué)上的可操作性。Asimit和Badcscu在其2010年

10、的文章中首次提出此類相依結(jié)構(gòu),但他們只是在復(fù)合泊松模型的框架下做了些很簡(jiǎn)單的討論。我們將它引入一般的更新模型,并對(duì)改進(jìn)后模型的漸近尾行為進(jìn)行了深入研究。另外,證明所得漸近公式對(duì)時(shí)闖的一致性是本章中一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作,我們用了很多精細(xì)的技巧來實(shí)現(xiàn)它。
　　 第五章可以看作是第四章的一個(gè)延伸,因?yàn)楸菊轮锌紤]的非標(biāo)準(zhǔn)更新模型與第四章考慮的具有相同類型的相依結(jié)構(gòu).但是,與前面一直考慮常數(shù)利率下的折現(xiàn)累計(jì)索賠不同,本章中我們研究累計(jì)索賠

11、在隨機(jī)收益下的折現(xiàn)值。具體來說,我們?cè)试S保險(xiǎn)公司投資金融資產(chǎn),比如無風(fēng)險(xiǎn)債券和有風(fēng)險(xiǎn)的各種股票,而投資組合的價(jià)值過程由一個(gè)幾何Lévy過程描述。在索賠額分布屬于ERV族的前提下,通過對(duì)Lévy過程加一個(gè)限制條件,我們得到了一個(gè)關(guān)于累計(jì)索賠隨機(jī)折現(xiàn)的尾概率的漸近公式,此公式對(duì)所有時(shí)間水平具有一致性,我們還進(jìn)一步證明,此模型下的有限時(shí)間和無限時(shí)間破產(chǎn)概率也滿足這個(gè)漸近公式.本章的原始靈感來自唐啟鶴等人2010年的最新工作,他們?cè)谒髻r額分布屬

12、于正規(guī)變化族的前提下,對(duì)標(biāo)準(zhǔn)更新模型(沒有任何相依結(jié)構(gòu))討論了相似的問題。因此,我們的工作將他們的結(jié)果推廣到了具有ERV型索賠分布的非標(biāo)準(zhǔn)相依更新風(fēng)險(xiǎn)模型中。
　　 第六章考慮一個(gè)在隨機(jī)經(jīng)濟(jì)環(huán)境中參與風(fēng)險(xiǎn)投資的保險(xiǎn)公司,這樣的保險(xiǎn)公司暴露在兩類風(fēng)險(xiǎn)之下:第一類是所謂的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn),主要由傳統(tǒng)的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)引起；第二類是金融風(fēng)險(xiǎn),由通貨膨脹、股市震蕩等隨機(jī)經(jīng)濟(jì)事件導(dǎo)致。我們致力于研究?jī)深愶L(fēng)險(xiǎn)的相互作用關(guān)系。保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)過程由一個(gè)離散的風(fēng)