量子物理基礎-嶺師-吳旭明

1、學習量子力學的困難,A. 發(fā)現它與我們熟悉的經典物理 學中習慣或概念不一致B. 量子力學中的新概念不是直觀的C. 處理問題時，與經典物理學在手 法上截然不同。,物理學研究的方法:觀察 實驗 假說 理論,量子力學簡介,1,1、輻射： 是物質以發(fā)射電磁波的形式向外界輸出能量。,化學發(fā)光、光致發(fā)光、場致發(fā)光、陰極發(fā)光、熱輻射,2、熱輻射： 組成物質的諸微觀粒子

2、在熱運動時都要使物體輻射電磁波，產生輻射場。這種與溫度有關的輻射現象，稱為熱輻射,3、熱輻射的一般特點：,(1）物質在任何溫度下都有熱輻射。,(2）溫度越高，發(fā)射的能量越大，發(fā)射的電磁波的波長越短。,一、熱輻射,4、平衡熱輻射,以下只討論平衡熱輻射。,在任一時刻, 如果物體輻射的能量等于所吸收的能量，輻射過程達到熱平衡，稱為平衡熱輻射。此時物體具有固定的溫度。,§1-1 黑體輻射、普朗克量子假說,2,二、單色輻射本領,為了定量

3、地描述不同物體在不同的溫度下物體進行熱輻射的能力，而引入單色輻射本領。,1、單色輻射本領 M?（T）,單位時間內從物體單位表面發(fā)出的波長在 ?附近單位波長間隔內的電磁波的能量 M ? （T）。稱單色輻射本領(單色輻出度),單色輻本領反映了在不同溫度下輻射能按波長分布的情況。,單色輻射本領 M ? （T）是溫度T和波長?的函數。,實驗表明：不同的物體，不同的表面（如光滑程度）其單色發(fā)射本領是大不相同的。,（例如：如果我們目的是散

4、熱，則應：加大表面積， 使表面粗糙，使其顏色加深）,3,2、吸收比 反射比 基爾霍夫定律,（1）吸收比 反射比,吸收比：物體吸收的能量和入射總能量的比值，?（?，T）反射比：物體反射的能量和入射總能量的比值，?（?，T）,（2）基爾霍夫定律,基爾霍夫在1860年從理論上推得 物體單色輻射本領與單色吸收比之間的關系:,所有物體的單色輻射本領 M ? （T）與該物體的單色吸收比的比值為一恒量。,① 這個恒量與物體的性質無關

5、，而只與物體的溫度和輻射能的波長有關。,4,② 說明物體的單色吸收比大的物體，其單色輻出度也大。 （例如黑色物體，吸熱能力強，其輻出本領也大）,③ 若物體不能發(fā)射某一波長的輻射能，那么該物體也就不能吸收這一波長的輻射能。,＊關于物體顏色的說明：――均指可見光范圍。例如，,紅色――表示除紅光外，其余都吸收（余類推）白色――表示對所有波長的光都不吸收。黑色――表示對所有波長的光都吸收,晚上在燈光下看物體的顏色和白天看的結果不一樣。

6、,5,三、絕對黑體,1、絕對黑體模型,由于物體輻射的光和吸收的光相同。因此黑體能輻射各種波長的光。它的M ? （T）最大且只和溫度有關。,用不透明材料制成的開一個小孔的空腔。小孔面積遠小于空腔內表面積，射入的電磁波能量幾乎全部被吸收。小孔能完全吸收各種波長的入射電磁波而成為黑體模型。,有一類物體不論它們組成成分如何，它們在常溫下，幾乎對所有波長的輻射能都能吸收。,黑體: 能完全吸收照射到它上面的各種波長的光的物體.,例如優(yōu)質煙煤和黑

7、色琺瑯對太陽光的吸收能力可達99％。,6,（1）任何物體的單色輻射本領和單色吸收比等于一個恒量，而這個恒量就是同溫度下絕對黑體的單色輻射本領。,（2）若知道了絕對黑體的單色輻射本領，就可了解所有物體的輻射規(guī)律，因此，研究絕對黑體的輻射規(guī)律就對研究熱輻射極為重要。,式中 MB?(T）叫做絕對黑體的單色輻射本領。,由基爾霍夫定律,2、絕對黑體就是吸收系數等于 ?(? ,T)＝1的物體。,可知，這類物體在溫度相同時，發(fā)射的輻射能按波長分布

8、的規(guī)律就完全相同。,7,3. (絕對)黑體的輻射定律,實驗裝置,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,T,,熱電偶,平行光管,,絕對黑體,,,,,,,,,,三棱鏡,,(絕對)黑體單色輻出度按波長分布實驗,8,4、絕對黑體單色輻射本領按波長分布曲線,M ? （T）只和溫度有關 保持一定溫度，用實驗方法可測出單色輻射本領隨波長的變化曲線。取不同的溫度得到不同的實驗曲線，如圖。,9,對待這個實驗曲線，許多物理學

9、家從不同的側面進行了研究，并得出許多重要結論。下面是有代表意義的兩條：,斯忒藩――玻爾茲曼定律 該定律主要是計算分布曲線下的面積。,維恩位移定律,由圖可看出對應于每一條單色輻射本領按波長分布的曲線都有一個極大值。與這極大值對應的波長，叫做峰值波長?m。,10,四、經典物理學所遇到的困難,1、維恩公式,上述結果并沒有給出單色輻射本領的具體函數式，十九世紀未，有許多物理學家，用經典理論導出的M ? （T） 公式都與實驗結果不符合，其中

10、最典型的是維恩公式和瑞利—金斯公式。,維恩假設：黑體的輻射可看成是由許多具有帶電的簡諧振子（分子，原子的振動）所發(fā)射，輻射能按頻率（波長）分布的規(guī)律類似于麥克斯韋的分子速度分布律。于1896年得出絕對黑體的單色輻出度與波長,溫度關系的一個半經驗公式,按照這個函數繪制出的曲線,其在高頻(即短波)部份與實驗曲線能很好地相符,但在低頻(長波)部份與實驗曲線相差較遠。,11,2、瑞利－金斯公式,他們把分子物理中的能量按自由均分的原理運用到電磁輻

11、射上，并認為在黑體空腔中輻射的電磁波是諧振子所發(fā)射的駐波，這樣得到的公式為,12,在低頻段，瑞--金線與實驗曲線符合的很好； 在高頻段，瑞--金線與實驗曲線有明顯的偏離 其短波極限為無限大(???0，E???)“紫外災難”。,13,五、普朗克的黑體輻射公式和能量子假說,熱力學與統計物理的理論:只有分立的能級求和才能夠才能出現這種數學形式,14,五、普朗克的能量子假說和黑體輻射公式,普朗克既注意

12、到維恩公式在長波(即低頻）方面的不足，又注意到了瑞利－金斯在短波（即高頻）方面的不足，為了找到一個符合黑體輻射的表達式，普朗克作了如下兩條假設。,1、普朗克假定（1900年）,(1)黑體是由帶電諧振子組成，這些諧振子輻射電磁波，并和周圍的電磁場交換能量。,(2)這些諧振子的能量不能連續(xù)變化，只能取一些分立值，這些分立值是最小能量ε的整數倍，即,ε,2ε，3ε，…，nε，…n為正整數，,? 稱為能量子，h稱為普朗克常數 h =

13、6.6260755×10-34 J·s 。,而且假設頻率為?的諧振子的最小能量為　　　　　　ε=hν,15,2、普朗克公式,能量不連續(xù)的概念是經典物理學完全不容許的！,當???，趨于維恩公式；當??0，趨于瑞利—金斯公式。,但從這個假定出發(fā)，Plank導出了與實驗曲線極為符合的普朗克公式：,16,3、普朗克假設的意義,? 當時 普朗克 提出的能量子的假設并沒有很深刻的道理，僅僅是為了從理論上推導出一個和實驗相符的

14、公式。 ? 這件事本身對物理學的意義是極其深遠的。能量子假設是對經典物理的巨大突破，它直接導致了量子力學的誕生。 ? 能量子概念在提出5年后沒人理會，首先是愛因斯坦認識到，并成功地解釋了“固體比熱”和“光電效應”。 ? 普朗克本入一開始也沒能認識到這一點。13年后才接收了他自己提出的這個概念（1918年，獲 諾貝獎）。,17,一、光電效應,金屬及其化合物在光波的照射下發(fā)射電子的現象稱為光電效應，所發(fā)射的電子稱為光電子,

15、1、實驗裝置,§1-2 光的量子性,（1） 飽和光電流強度 Im與入射光強成正比（?不變）。,單位時間內從金屬表面逸出的光電子數和光強成正比。　　　 ne ? I ?,2、光電效應的實驗規(guī)律,當光電流達到飽和時，陰極K上逸出的光電子全部飛到了陽極A上。,即　　Im＝neeu,18,截止電壓(遏止電勢差）,光電子的最大初動能與入射光強無關。 (可利用此公式，用測量遏止電勢差的方法來測量光電子的最

16、大初動能),（2） 光電子的最大初動能隨入射光的頻率的增大而增大,這表明：從陰極逸出的光電子必有初動能 (指光電子剛逸出金屬表面時具有的動能)。則對于最大初動能有。,當電壓 U =0 時，光電流并不為零；只有當兩極間加了反向電壓 U=－Ua <0時，光電流才為零。此電壓稱為截止電壓(遏止電勢差)。,19,從金屬表面逸出的最大初動能, 隨入射光的頻率v 呈線性增加。,k：與金屬材料無關的普適常數, U0：對同一金屬是一個常量，

17、不同金屬不同,把 　代入上式可得,截止電壓Ua與入射光頻率 ? 呈線性關系,實驗表明，截止電壓與光的強度無關，但與光頻率成線性關系，,20,（4）光電效應是瞬時發(fā)生的,實驗表明，只要入射光頻率 ?>?0，無論光多微弱，從光照射陰極到光電子逸出，馳豫時間不超過10-9s，無滯后現象。,(3) 只有當入射光頻率?大于一定的紅限頻率?0時，才會產生光電效應。,當入射光頻率

18、? 降低到 ?0 時，光電子的最大初動能為零。若入射光頻率再降低，則無論光強多大都沒有光電子產生，不發(fā)生光電效應。?0 稱為這種金屬的紅限頻率(截止頻率) 。,21,二、經典物理學所遇到的困難,,按照經典的物理理論，金屬中的自由電子是處在晶格上正電荷所產生的“勢阱”之中。這就好象在井底中的動物，如果沒有足夠的能量是跳不上去的。,按照經典的波動理論，光波的能量應與光振幅平方成正比亦即應與光強有關。因此，按經典理論，光電子的初動能應隨入射

19、光的光強的增加而增加。,1、逸出功，初動能與光強，頻率的關系,當光波的電場作用于電子，電子將從光波中吸取能量，克服逸出功，從低能的束縛態(tài)，跳過勢壘而達到高能的自由態(tài)，并具有一定的初動能。,但實驗表明，光電子的初動能與光強無關，而只與入射光的頻率呈線性增加，且存在光電效應的頻率紅限。,2、光波的能量分布在波面上，電子積累能量需要一段時間，光電效應不可能瞬時發(fā)生。,22,三、愛因斯坦的光量子論及愛因斯坦方程,1．普朗克的假定是不協調的

20、 普朗克假定物體只是在發(fā)射或吸收電磁輻射時才以“量子”的方式進行，并未涉及輻射在空間的傳播。相反，他認為電磁輻射在空間的傳播還是波動的。,2. 愛因斯坦光量子假設（1905）,h為普朗克常數 h=6.626176×10-34 J·s,(1) 電磁輻射由以光速c 運動，并局限于空間某一小范圍的光量子(光子)組成，每一個光量子的能量 ? 與輻射頻率? 的關系為,(2) 光量子具有“整體性”。一

21、個光子只能整個地被電子吸收或放出。,23,（３）一束光就是一束以光速運動的粒子流，單色光的能流密度，即等于單位時間內通過單位面積的光子數和每個光子能量之積，即,n?表示單位時間內通過單位面積的光子數。,這也說明，在能量密度一定時，每個光子的能量越大（即頻率越高）光子數N就越小。,24,3、對光電效應的解釋,光照射到金屬表面時，一個光子的能量可以立即被金屬中的電子吸收。但只有當入射光的頻率足夠高，以致每個光量子的能量足夠大時，電子才有可能

22、克服逸出功 A 逸出金屬表面。根據能量守恒與轉換律,愛因斯坦光電效應方程,因此存在紅限頻率,25,Im=neeu I?=n ? hv,ne ? n ? Im ? I?,v一定時，光強大的光束，說明包含的光子數多，其照射到金屬板上被電子吸收的機會也多，因而從金屬中逸出的電子數也多，這就說明了光電流隨光強增加而增加。,在光子流中，光的能量集中在光子上，電子與光子相遇，只

23、hv要足夠大，電子就可以立刻吸收一個光子的能量而逸出金屬表面，因而不會出現滯后效應。,式中Im是飽和電流，u是電子定向運動的速度，ne光電子數；I?是光強，n?是光子數。,,26,四、光的波粒二象性,每個光子的能量,描述光的波動性：波長 ?，頻率 ? 描述光的粒子性：能量 ? ，動量P,按照相對論的質能關系,光子無靜質量 m0=0,光子的動量,引入,27,光子具有動量，顯示其有粒子性，光子具有波長，又說明其有波動性

24、。這說明，光具有波粒二象性，即在傳播過程中充分顯示它的波動性（如干涉，衍射等）而在光與實物粒子相作用時，又充分顯示它的粒子特性，光的波，粒二重特性，充分地包含在,密立根實驗確定了基本電荷e從另一種實驗上測量了h值,28,康普頓效應,1．實驗裝置：,1922—1923年康普頓研究了X射線被較輕物質(石墨、石蠟等)散射后X光的成分，發(fā)現散射譜線中除了有波長與原入射X波長相同的成分外，還有波長較長的成分。這種散射現象稱為康普頓散射或康普頓效

25、應?？灯疹D效應進一步證實了光的量子性。,29,2．實驗規(guī)律,在散射的X射線中，除有波長與入射射線相同的成分外，還有波長較長的成分。波長的偏移量為,康普頓散射的波長偏移與散射角的關系如下圖所示。,?0：入射波波長，?：散射波波長,?：散射角-散射方向與入射方向之間的夾角。,30,3．康普頓效應的特點：,波長偏移 ?? 只與散射角有關，而與散射物質及入射X射線 的波長?0無關：,（2）只有當入射波長 ?0 與電子的康普頓波長?c可比擬時

26、，康普頓效應才顯著。因此選用X射線觀察。,（3）原子量較小的物質，康普頓散射較強，反之，原子量大的物質康普頓散射較弱。,電子的康普頓波長：,31,七、康普頓效應驗證了光的量子性：,1．經典電磁理論的困難,2．康普頓的解釋：,按經典理論，入射X光是電磁波，散射光的波長是不會改變的。因為散射物質中的帶電粒子是作受迫振動，其頻率等于入射X光的頻率，故帶電粒子所發(fā)射光的頻率應為入射的X光的頻率。,他假設:入射X射線束不是頻率為 ? 的波，而是一

27、束能量為 E０＝h?０ 的光子；光量子與散射物質中的電子之間的發(fā)生彈性碰撞，（因康普頓位移與物質材料無關，提醒我們，散射過程與整個原子無關。經典理論中是被吸收）且在碰撞過程中滿足能量與動量守恒。,32,（２）如果光子與束縛很緊的電子碰撞，則光子是與整個原子交換動量和能量。但原子的質量相對于光子可視為無窮大，按碰撞理論，這時光子不會顯著地失去能量,故而散射光的頻率就不會明顯地改變，所以入射光中就有與入射光波長相同的散射光。,（３）輕原子中

28、的電子一般束縛較弱，而重原子中只有外層電子束縛較弱，因此，原子量小的物質康普頓散射較強，重原子物質康普頓散射較弱。,（１）當光子與自由電子或束縛較弱的電子發(fā)生碰撞時，入射光子把一部分能量傳給了電子，同時光子則沿一定方向被彈開，成為散射光。由于光子的能量 E0＝h?0 已有一部分傳給了電子，因而被散射的光子的能量 E＝h? 就較之入射光子的能為低， E＝h? ?0,33,3、定量計算,利用能量與動量守恒定律有：,解出的波長偏移：

29、,光量子能量 >> 電子的束縛能， ? 電子可視為“自由”的,34,4、康普頓散射實驗的意義,(1)有力地支持了“光量子”概念。 也證實了普朗克假設 ? = h?。 (2)首次實驗證實了愛因斯坦提出的“光量子具有動量”的假設。 (3)證實了在微觀的單個碰撞事件中，動量和能量守恒定律仍然是成立的。,*光電效應與康普頓效應的區(qū)別：,１、光電效應是處于原子內部束縛態(tài)的電子 與光子 的作用，這時束縛態(tài)的電子吸收了光子的全部能

30、量而逸出金屬表面；,２、康普頓效應則是光子與準自由電子的彈性碰撞，光子只是將一部分能量傳給電子，被散射光子的能量（因而頻率）低于入射光子的能量，,35,一、玻爾的氫原子理論,1、原子的核式模型與經典電磁理論的困難,1912年盧瑟夫以其著名的? 粒子散射實驗最終地建立起了經典的原子核式模型：原子中央有一個帶正電的核，它集中了原子的全部正電荷和幾乎全部的質量；核半徑比電子軌道半徑小很多，相差4個數量級（統計力學表明原子線度約10－10m，核

31、半徑10－14—10－15m）。整個原子中正負電荷之和為零?！?36,?經典電磁理論的困難,(1)　按經典的電磁理論，原子應是不穩(wěn)定系統、原子光譜應是連續(xù)的。(變化的磁場產生電場，變化的電場產生磁場。所以經典理論電子的運動輻射電磁波),輻射能量—降低動能—最終停止則原子坍塌,電子的特征長度，電子的靜止能量等于電子的靜電能,37,特征長度，波爾的量綱分析普朗克常數h（作用量子）是這個問題的關鍵,[能量]2[時間]2/[能量][長度]-

32、2 [時間]2 [能量][長度],38,二、原子光譜的實驗規(guī)律,1、光譜的分類,（1）線狀光譜 —— 光譜成線狀，是分立的，離散的， 譜線分明且清楚。這是原子光譜,（2）帶狀光譜 —— 譜線分段密集的。每段中很多有波 長相近的譜線，這是分子光譜,（3）連續(xù)光譜 —— 光譜是連續(xù)變化，譜線密接成一片， 這是一般物體的熱輻射光譜。如白熾燈的光譜,在十九世紀,化學,電

33、磁學的發(fā)展,都把原子結構作為自己的研究對象,而原子發(fā)光是反映原子內部結構或能態(tài)變化的重要現象。因此，對光譜的研究,是了解原子結構的重要方法。,光譜是電磁輻射的波長成份和強度分布的一種記錄。,按光譜的形狀，其可分為三類,39,2、氫原子光譜的規(guī)律性,下圖是氫原子可見光譜圖，它是分立的線狀光譜。各譜線的波長是經光譜學測定的。波長越短、譜線的間隔越小。,（1）巴爾麥公式,式中n =3, 4, 5, …….等為正整數 , B=3645.7&

34、#197; 為一恒量，,1885年，瑞士物理學家巴爾麥總結出氫原子中可見光的波長滿足,40,，稱為里德伯常數。,n =3, 4, 5, …….,,1890年，瑞士的里德伯改作波長的倒數（即波數）表示,（2）廣義巴爾麥公式,41,推廣的巴爾麥公式,K可取1，2，3，4，5；對應于每一個K值就給出一個線系，在每個線系中，n 從 (K+1) 開始取值。,3、里茲并合原理,如果把推廣的巴爾麥公式前后兩項寫成,即原子光譜的任何一條譜線的

35、波數都可以表示為兩個光譜項之差。,42,實際上，是里茲等人先總結出并合原理，而后才有帕邢系，賴曼系的發(fā)現，故此上述并合原理稱為里茲并合原理,4、原子光譜的實驗規(guī)律,到了二十世紀初，關于原子光譜的實驗規(guī)律已總結出：,（1）譜線的波數由兩個譜項差值決定,（2）如果前項整數參量保持不變，后項整數參量取不同值，則給出 同一譜線系中的各譜線的波數,（3）改變前項整數參量值，則給出不同的譜系,這些實驗規(guī)律實際上已深刻地反映了原子內部的某種規(guī)律，

36、但用當時的經典理論去研究，仍然是茫頭緒。,43,愛因斯坦的光子說已經指出：原子發(fā)光是以光子的形式發(fā)射的，光子的能量正比于它的頻率。從能量守恒的角度來看，原子發(fā)射一個光子，能量就減少了，即從發(fā)射前的初態(tài)Ek，減少到未態(tài)能量En，即光的頻率,將此式與里茲的并合原理相比較，并將其用波數表示為,44,(2)量子化躍遷頻率假設,(1)穩(wěn)定態(tài)軌道假設,原子能夠，而且只能夠穩(wěn)定地存在與分立的能量(E1,E2,E3,……)相應的一系列的狀態(tài)中，這些狀態(tài)

37、稱為定態(tài)。,原子在兩個定態(tài)躍遷時，其輻射或吸收的單色光的頻率為,三、玻爾理論的基本假設,45,(3)對應原理,大量子數極限下，量子體系的行為將趨于與經典體系相同。,經典情況下的中心力場的能量和周期,46,47,48,49,經典近似,50,51,52,(3)由對應原理得到角動量量子化假設,主量子數，n＝1，2，3，……….,原子中電子繞核作圓周運動的軌道角動量 L（動量矩L）只有取 h／2π的整數倍的定態(tài)軌道是可能存在 的。即,53,3

38、、氫原子軌道半徑和能量計算,（1） 軌道半徑,同時又假定庫侖定律，牛頓定律在他的原子中仍然成立，即有,聯立求得,穩(wěn)定的軌道半徑 r 正比于主量子數n的平方，即軌道是不連續(xù)的,玻爾假定電子繞核運動的軌道角動量滿足量子化條件,54,當n=1時，得r1=5.29177×10-11m ? 0.53A0通常稱此數為第一玻爾半徑,（2）原子能級的概念,按照經典理論，電子在軌道上運動時，具有電勢能和動能，因此電子在某一軌道運動時，

39、其總能量為,故此軌道總能量為,55,這說明原子系統的能量是不連續(xù)的，量子化的。這種量子化的能量值稱為原子的能級。,或者由,由上面兩式，得,56,(3)能級躍遷圖與氫原子譜線系,57,一、德布羅意波,1、實物粒子具有波粒二象性.,§1-4 粒子的波動性,自然界在許多方面都是明顯對稱的。既然光具有波粒二象性，那么實物粒子，如電子，是否也應具有波粒二象性？,1924年法國青年物理學家,在光的波粒二象性的啟發(fā)下提出了此問題。他認為：

40、19世紀物理學家對光的研究只重視了光的波動性而忽視了光的微粒性,而在實物粒子(即中子,質子,電子,原子,分子等)的研究上可能發(fā)生了相反的情況,即過分重視了實物粒子的微粒性,而沒有考慮實物粒子的波動性,因此他提出實物粒子也具有波動特性。,58,實物粒子的能量E和動量P與它相應的波的頻率?和波長?的關系和光子一樣。,這種和實物粒子相聯系的波通常稱為德布羅意波,或叫物質波。,59,,2 德布羅意de Broglie 波,因為自由粒子的

41、能量 E 和動量 p 都是常量，所以由de Broglie 關系可知，與自由粒子聯系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：,寫成復數形式,這種波就是與自由粒子相聯系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復數形式的波稱為 de Broglie 波,de Broglie 關系： ν= E/h ? ? = 2? ν= 2?E/h

42、= E/? λ= h/p ? k = 1/ ? = 2? /λ = p/?,60,,3 駐波條件,為了克服 Bohr 理論帶有人為性質的缺陷， de Broglie 把原子定態(tài)與駐波聯系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯系起來。,例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運動的電子相應的駐波示意圖,,要求圓周長是波長的整數倍,于是角動量：,de Broglie 關系,61,二、德布羅意波的實驗驗證,1、戴維孫—

43、革末的電子衍射實驗,德布羅意波是1924年提出的,1927年便得到了驗證。戴維孫—革末看到電子的德布羅意波波長與X射線的波長相近，因此想到可用與X射線衍射相同的方法驗證。,實驗裝置和現象,62,,電流出現了周期性變化,,M,,,,,實驗結果：,63,實驗結果的解釋,戴維孫和革末在實驗中，保持d和?不變，則波長?滿足布拉格公式時：,如果電子束確有波動，則入射到晶體上的電子,當其滿足布拉格公式時，,按德布羅意假設，電子加速后的波長滿足,當U

44、逐漸變化時（即波長逐漸變化時），其平方根值等于一個常數C的整數倍時，接收器測到的電子數量應出現峰值，結果理論和實驗符合很好。,應在反射方向上觀察到最強電流,64,例如，對d=0.91 Å的鎳片,使?＝600 ， 當加速電壓U=54V時,電流有第一級極大,布拉格公式, 算得,2、電子多晶薄膜的衍射實驗,德布羅意公式,算得,65,在此之后，人們陸續(xù)用實驗證實了原子,分子,中子，質子也具有波動性.,實物粒子波動性的一個重要應用就是

45、電子顯微鏡,其分辨本領比普通光學儀器要高幾千倍,如我國制造的電子顯微鏡,其放大率高達８０萬倍,其分解本領達1.44 Å,可分辨到單個原子的尺度,為研究分子結構提供了有力武器.,66,3、對波粒二象性的理解:,(1)粒子性：“原子性”或“整體性”。 具有能量和動量。 不是經典的粒子！,（2）波動性：“可疊加性”，“干涉”，“衍射”，“偏振”。 具有頻率

46、和波矢。 不是經典的波，,拋棄了“軌道”的概念！,不代表實在的物質的波動。,67,第二章 波函數和 Schrodinger 方程,§1 波函數的統計解釋 §2 態(tài)疊加原理 §3 力學量的平均值和算符的引進 §4 Schrodinger 方程 §5 粒子流密度和粒子數守恒定律 §6 定態(tài)Schrodinger方程,68,§1 波函

47、數的統計解釋,（一）波函數 （二）波函數的解釋 （三）波函數的性質,69,3個問題？,描寫自由粒子的平 面 波,如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：,描寫粒子狀態(tài)的波函數，它通常是一個復函數。,稱為 de　Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數。,(1) ? 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？,(2) ? 如何體現波粒

48、二象性的？,(3) ? 描寫的是什么樣的波呢？,（一）波函數,返 回§1,70,,2 德布羅意de Broglie 波,因為自由粒子的能量 E 和動量 p 都是常量，所以由de Broglie 關系可知，與自由粒子聯系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量 n 方向傳播的平面波可表為：,寫成復數形式,這種波就是與自由粒子相聯系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的

49、平面波，這種寫成復數形式的波稱為 de Broglie 波,de Broglie 關系： ν= E/h ? ? = 2? ν= 2?E/h = E/? λ= h/p ? k = 1/ ? = 2? /λ = p/?,71,（1）兩種錯誤的看法,1. 波由粒子組成,如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。,這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。,電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上

50、增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。,波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。,O,事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現象。,72,2. 粒子由波組成,電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等

51、波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 什么是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會

52、超過原子大小≈1 Å 。 電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經典的粒子也不是經典的波，但是我們也可以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一。” 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概

53、念中的粒子。,73,相速度與群速度,對于單色波，其速度指振動即位相傳播的速度，稱為相速度。,而非單色波，由于色散，不同波長成分具有不同的相速度。,非單色波，合成形成波包。波包表現了非單色波的群體特征。群速度,74,,,,,,,,75,1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;,我們再看一下電子的衍射實驗,2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.,,76,,a．每次接收到的是一個電子，即電子確是以一個整體出現

54、；b. 電子數的強度P1,P2，但P1 + P2 ≠ P12；,77,c．電子槍發(fā)射稀疏到，任何時刻空間至多一個電子，但足夠長的時間后，也有同樣結果。因此，我們可得到下面的結論：a´. 不能認為，波是電子將自己以一定的密度分布于空間形成的（因接收到的是一個個電子），也不是大量電子分布形成的（稀疏時，也有同樣的現象）；,78,b´. 不能想像，電子通過1,2時，能像經典電子（有軌道）那樣來描述，因P1

55、 + P2 ≠ P12,79,c´. 不能認為衍射可能是通過縫后，電子相互作用所導致（稀疏時，也有同樣現象）?？傊?，電子（量子粒子）不能看作經典粒子也不能用經典波來描述（經典波是物理量在空間的分布）,80,結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果。 波函數正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此

56、基礎上，Born 提出了波函數意義的統計解釋。,r 點附近衍射花樣的強度 ?正比于該點附近感光點的數目， ?正比于該點附近出現的電子數目， ?正比于電子出現在 r 點附近的幾率。,在電子衍射實驗中，照相底片上,81,據此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統計規(guī)律性，波函數Ψ (r)有時也稱為幾率幅。

57、這就是首先由 Born 提出的波函數的幾率解釋，它是量子力學的基本原理。,假設衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，與光學相似， 衍射花紋的強度則用 |Ψ (r)|2 描述，但意義與經典波不同。,|Ψ (r)|2 的意義是代表電子出現在 r 點附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ (r)|2 Δx Δy

58、 Δz 表示在 r 點處，體積元Δx Δy Δz中找到粒子的幾率。波函數在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，,82,（三）波函數的性質,在 t 時刻， r 點，d τ = dx dy dz 體積內，找到由波函數 Ψ (r,t)描寫的粒子的幾率是：

59、 d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系數。,根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：,（1）幾率和幾率密度,在 t 時刻 r 點，單位體積內找到粒子的幾率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 稱為幾率密度。,在體積

60、 V 內，t 時刻找到粒子的幾率為： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ,83,（2）平方可積,由于粒子在空間總要出現（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 從而得常數 C 之值為：

61、 C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ,這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數Ψ必須是絕對值平方可積的函數。,若,∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ? ∞, 則 C ? 0, 這是沒有意義的。,84,（3）歸一化波函數,這與經典波不同。經典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應的波動能量將為原來的 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經典波無歸一化問題。,Ψ (r , t ) 和

62、CΨ (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的 C 是常數。 因為在 t 時刻，空間任意兩點 r1 和 r2 處找到粒子的相對幾率之比是：,由于粒子在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 Ψ (r, t) 和 C

63、Ψ (r, t) 描述同一狀態(tài),可見，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。,85,歸一化常數,若 Ψ (r , t ) 沒有歸一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常數），則有 ∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1,也就是說，(A)

64、-1/2Ψ (r , t )是歸一化的波函數， 與Ψ (r , t )描寫同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子。,注意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是歸一化波函數，那末， exp{iα}Ψ (r , t ) 也是歸一化波函數（其中α是實數

65、），與前者描述同一幾率波。,86,（4）平面波歸一化,I Dirac ?—函數,定義：,或等價的表示為：對在x=x0 鄰域連續(xù)的任何函數 f（x）有：,?—函數 亦可寫成 Fourier 積分形式：,令 k=px/?, dk= dpx/?, 則,性質：,87,II 平面波 歸一化,寫成分量形式,t=0 時的平面波,考慮一維積分,若取 A12 2?? = 1，則 A1= [2??]-1/2, 于是,,,88,三維情況：,其中

66、,注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。,89,體系的波函數給出了體系所有信息（可能范圍內的），它給出體系一個完全的描述（例如，測量粒子的能量時，可給出預言可能測得那些能量值和測得該能量值的概率，等等）。正因為如此，我們可以說波函數描述了體系所處的量子狀態(tài)，或稱狀態(tài)。以描述體系，就稱體系處于態(tài)，或稱為體系的態(tài)函數,90,（一）態(tài)疊加原理,微觀粒子具有波動性，會

67、產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態(tài)，稱波函數為狀態(tài)波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。,91,,考慮電子雙縫衍射,Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是電子的可能狀態(tài)。 空間找到電子的幾率則是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1

68、*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*],Ψ,電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度,電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度,相干項 正是由于相干項的出現，才產生了衍射花紋。,一個電子有 Ψ1 和 Ψ2 兩種可能的狀態(tài)，Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。,92,其中C1 和 C2 是復常數，這就是量子力學的態(tài)疊加原理。,態(tài)疊加原理一

69、般表述： 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復常數)。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于Ψ