同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))-第二章-導(dǎo)數(shù)與微分

1、1第二篇第二篇一元函數(shù)微積分一元函數(shù)微積分第二章第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微積分學(xué)包含微分學(xué)和積分學(xué)兩部分，而導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)的核心概念導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化的快慢程度，微分則指明了當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化了多少，即函數(shù)的局部改變量的估值本章主要討論導(dǎo)數(shù)和微分的概念、性質(zhì)以及計(jì)算方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念1.1導(dǎo)數(shù)概念的引入導(dǎo)數(shù)概念的引入1.1.1質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的

2、瞬時(shí)速度問(wèn)題現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式記為st，求在時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為多少？()sst?0t0()vt整體來(lái)說(shuō)速度是變化的，但局部來(lái)說(shuō)速度可以近似看成是不變的設(shè)質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻改0t變到時(shí)刻，在時(shí)間增量?jī)?nèi)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為，在時(shí)0tt??t?00()()ssttst?????t?間內(nèi)的平均速度為，00()()sttstsvtt????????當(dāng)時(shí)間增量越小時(shí)，平均速度越接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度，于是當(dāng)t?v

3、0t0()vt時(shí)，的極限就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，即0t??v0t0()vt000000()()()limlimlimtttsttstsvtvtt???????????????1.1.2平面曲線的切線斜率問(wèn)題平面曲線的切線斜率問(wèn)題已知曲線，求曲線上點(diǎn)處的切線斜率:()Cyfx?C000()Mxy欲求曲線上點(diǎn)的切線斜率，由切線為割線的極限位置，容易想到切線C000()Mxy的斜率應(yīng)是割線斜率的極限圖213例1設(shè)，求1()fxx?(3)f

4、?解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義，可得333()(3)11111(3)limlimlim33339xxxfxffxxxx????????????????????例2設(shè)，求下列極限：0()2fx???（1）；（2）000(3)()limxfxxfxx??????000()()limhfxhfxhh????解（1）0000000(3)()(3)()lim3lim3()63xxfxxfxfxxfxfxxx?????????????????（2）0000

5、0000()()()()()()limlimhhfxhfxhfxhfxfxfxhhh???????????0000000()()()()limlim2()4hhfxhfxfxhfxfxhh?????????????1.2.2單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是由函數(shù)的極限來(lái)定義的，因?yàn)闃O限存在左、右極限，所以導(dǎo)數(shù)也存在左、右導(dǎo)數(shù)的定義定義定義2（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某左鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)左側(cè)()yfx?0xx0x取得增量時(shí)，如果極限或存在，則稱(chēng)此

6、極x?000()()limxfxxfxx???????000()()limxxfxfxxx????限值為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)，記為，即()yfx?0x0()fx??0000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx???????????????（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)右側(cè)取得增量()yfx?0xx0x時(shí)，如果極限或存在，則稱(chēng)此極限值為x?000()()limxfxxfxx???????