考研數(shù)學(xué)沖刺經(jīng)典題目

1、第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確若，且序列的極限存在，()nnxynN??nnxylimlimnnnnxAyBAB???????則解答：不正確在題設(shè)下只能保證，不能保證例如：，AB?AB?111nnxynn???，而nnxyn??limlim0nnnnxy??????例2選擇題設(shè)，且（）nnnxzy??lim()0limnnnnnyxz??????則A存在且等于零B.存在但不一定等于零C不一定存在D.一定不

2、存在答：選項(xiàng)C正確分析：若，由夾逼定理可得，故不選A與D.limlim0nnnnxya???????lim0nnza????取，則，且，但11(1)(1)(1)nnnnnnxyznn????????nnnxzy??lim()0nnnyx????limnnz??不存在，所以B選項(xiàng)不正確，因此選C例3設(shè)（）nnxay??且lim()0nnnnnyxxy????則與A都收斂于B.都收斂，但不一定收斂于aaC可能收斂，也可能發(fā)散D.都發(fā)散答：選

3、項(xiàng)A正確分析：由于，得，又由及夾逼定理得nnxay??0nnnaxyx????lim()0nnnyx????lim()0nnax????因此，，再利用得所以選項(xiàng)Alimnnxa???lim()0nnnyx????limnnya???二、無(wú)界與無(wú)窮大無(wú)界：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在正?shù)，使得()fxDM()fxMxXD????則稱(chēng)函數(shù)在上有界，如果這樣的不存在，就成函數(shù)在上無(wú)界；也就是說(shuō)如果對(duì)于任()fxXM()fxX何正數(shù)，總存在，使，

4、那么函數(shù)在上無(wú)界M1xX?1()fxM?()fxX無(wú)窮大：設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時(shí)有定義）如果對(duì)于任意()fx0xx給定的正數(shù)（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)），只要適合不等式（或M?Xx00xx????），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總滿足不等式xX?()fx五、求函數(shù)在某點(diǎn)處極限時(shí)要注意其左右極限是否相等，求無(wú)窮大處極限要注意自變量取正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大時(shí)極限是否相等。例7求極限10limlimxxxxee???解：，因而

5、時(shí)極限不存在。limlim0xxxxee??????????x??xe，因而時(shí)極限不存在。1100lim0limxxxxee????????0x?1xe六、使用等價(jià)無(wú)窮小求極限時(shí)要注意：（1）乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價(jià)無(wú)窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時(shí)，一般可以用泰勒公式來(lái)求極限。（2）注意等價(jià)無(wú)窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價(jià)無(wú)窮小因子替換例8：求極限20112limxxxx?????分析一：若將寫(xiě)

6、成，再用等價(jià)無(wú)窮小替換就會(huì)導(dǎo)致112xx????(11)(11)xx?????錯(cuò)誤。分析二：用泰勒公式22222211()12211(1())22!11()122(1())222!1()4xxxxxxxxxx????????????????????原式。2221()144xxx??????例9：求極限sinlimxxx??解：本題切忌將用等價(jià)代換，導(dǎo)致結(jié)果為1。sinxxsinsinlim0xxx??????七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設(shè)