中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱

1、—1—中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱為了進(jìn)一步推動(dòng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，更好地實(shí)現(xiàn)“中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”的目標(biāo)，特制訂本大綱。一、競(jìng)賽的性質(zhì)和參賽對(duì)象“中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”的目的是：激勵(lì)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步推動(dòng)高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才?！爸袊?guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”的參賽對(duì)象為大學(xué)本科二年級(jí)及二年級(jí)以上的

2、在校大學(xué)生。二、競(jìng)賽的內(nèi)容“中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽”分為數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽題和非數(shù)學(xué)專業(yè)類競(jìng)賽題。（一）中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)專業(yè)類）競(jìng)賽內(nèi)容為大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)內(nèi)容，即，數(shù)學(xué)分析占50%，高等代數(shù)占35%，解析幾何占15%，具體內(nèi)容如下：Ⅰ、數(shù)學(xué)分析部分Ⅰ、數(shù)學(xué)分析部分一、集合與函數(shù)一、集合與函數(shù)1.實(shí)數(shù)集、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的稠密性，實(shí)數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)A間套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理.2.上的距離、鄰域、聚點(diǎn)、

3、界點(diǎn)、邊界、開(kāi)集、閉集、有界（無(wú)界）集、上的2A2A閉矩形套定理、聚點(diǎn)定理、有限復(fù)蓋定理、基本點(diǎn)列，以及上述概念和定理在上的推nA廣.3.函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關(guān)的性質(zhì).二、極限與連續(xù)二、極限與連續(xù)1.數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)）.2.數(shù)列收斂的條件（Cauchy準(zhǔn)則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關(guān)系），

4、極限及其應(yīng)用.1lim(1)nnen????3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號(hào)性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結(jié)原則和Cauchy收斂準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及其應(yīng)用，計(jì)算一元函數(shù)極限的各種方法，無(wú)窮小量與無(wú)窮大sin10lim1lim(1)xxxxxxe??????量、階的比較，記號(hào)O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關(guān)系.4.函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)

5、的局部性質(zhì)（局部有界性、保號(hào)性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）.三、一元函數(shù)微分學(xué)三、一元函數(shù)微分學(xué)1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的各種計(jì)算方法，微分及其幾何意義、可微與可導(dǎo)的關(guān)系、一階微分形式不變性.2.微分學(xué)基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Tayl公式(Peano余項(xiàng)與Lagrange余項(xiàng)).3.一元微分學(xué)的應(yīng)用：函數(shù)單調(diào)

6、性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應(yīng)—3—2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、Cauchy準(zhǔn)則、一致收斂性判別法（M判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.3.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可積性、可微性及其應(yīng)用，冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、Tayl級(jí)數(shù)、Maclaurin級(jí)數(shù).4.Fourie

7、r級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)、Beseel不等?l式、RiemanmLebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理.Ⅱ、高等代數(shù)部分Ⅱ、高等代數(shù)部分一、一、多項(xiàng)式多項(xiàng)式1.數(shù)域與一元多項(xiàng)式的概念2.多項(xiàng)式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法3.互素、不可約多項(xiàng)式、重因式與重根.4.多項(xiàng)式函數(shù)、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì).5.代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解.

8、6.本原多項(xiàng)式、Gauss引理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、Eisenstein判別法、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根.7.多元多項(xiàng)式及對(duì)稱多項(xiàng)式、韋達(dá)(Vieta)定理.二、二、行列式行列式1.n級(jí)行列式的定義.2.n級(jí)行列式的性質(zhì).3.行列式的計(jì)算.4.行列式按一行（列）展開(kāi).5.拉普拉斯(Laplace)展開(kāi)定理.6.克拉默(Cramer)法則.三、線性方程組線性方程組1.高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解

9、.2.n維向量的運(yùn)算與向量組.3.向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、兩個(gè)向量組的等價(jià).4.向量組的極大無(wú)關(guān)組、向量組的秩.5.矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系.6.線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu).7.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)四、四、矩陣矩陣1.矩陣的概念、矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算)及其運(yùn)算律.2.矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系.3.矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的