習題課 多元函數(shù)微分學

1、,第八章,習題課,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、 基本概念,二、多元函數(shù)微分法,三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,,,多元函數(shù)微分法,一、 基本概念,連續(xù)性,偏導(dǎo)數(shù)存在,方向?qū)?shù)存在,可微性,,,,1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù),定義域及對應(yīng)規(guī)律,判斷極限不存在及求極限的方法,函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì),2. 幾個基本概念的關(guān)系,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習,機動 目錄

2、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1. 討論二重極限,解法1,解法2 令,解法3 令,時, 下列算法是否正確?,分析:,解法1,解法2 令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況,,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.,此時極限為 1 .,第二步,未考慮分母變化的所有情況,,解法3 令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,此法忽略了? 的任意性,,極

3、限不存在 !,由以上分析可見, 三種解法都不對,,因為都不能保證,自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點 .,特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限,,但要注意在定義域內(nèi) r , ? 的變化應(yīng)該是任意的.,同時還可看到,,本題極限實際上不存在 .,提示: 利用,故f 在 (0,0) 連續(xù);,知,在點(0,0) 處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微 .,2. 證明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,而,所以 f 在

4、點(0,0)不可微 !,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 已知,求出 的表達式.,解法1 令,即,,解法2,以下與解法1 相同.,則,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、多元函數(shù)微分法,顯示結(jié)構(gòu),隱式結(jié)構(gòu),1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu),(畫變量關(guān)系圖),自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) – 方程總個數(shù),自變量與因變量由所求對象判定,2. 正確使用求導(dǎo)法則,“分段用乘,分

5、叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”,注意正確使用求導(dǎo)符號,3. 利用一階微分形式不變性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例2. 設(shè),其中 f 與F分別具,解法1 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得,,有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù), 求,(99 考研),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,解法2,方程兩邊求微分, 得,化簡,,消去 即可得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,

6、,,例3.設(shè),有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,求,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,練習題,1. 設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),2. 同濟(下) P73 題12,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解答提示:,第 1 題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P73 題12 設(shè),求,提

7、示:,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,①,,②,利用行列式解出 du, dv ：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,代入①即得,,,代入②即得,有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,,及,分別由下兩式確定,求,又函數(shù),答案:,( 2001考研 ）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 設(shè),三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,1.在幾何中的應(yīng)用,求曲線在切線及法平面,(關(guān)鍵: 抓住切向量

8、),求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量),2. 極值與最值問題,極值的必要條件與充分條件,求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法),求解最值問題,3. 在微分方程變形等中的應(yīng)用,最小二乘法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4.在第一卦限作橢球面,的切平面,,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小, 并求切點.,解: 設(shè),切點為,則切平面的法向量為,,即,,切平面方程,,,,機動 目錄 上頁

9、 下頁 返回 結(jié)束,,問題歸結(jié)為求,在條件,下的條件極值問題 .,設(shè)拉格朗日函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,切平面在三坐標軸上的截距為,令,,,由實際意義可知,為所求切點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,唯一駐點,例5.,求旋轉(zhuǎn)拋物面,與平面,之間的最短距離.,解：,設(shè),為拋物面,上任一點，,則 P,的距離為,問題歸結(jié)為,約束條件:,目標函數(shù):,,作拉氏函數(shù),機動

10、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,到平面,,令,解此方程組得唯一駐點,,由實際意義最小值存在 ,,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,上求一點 , 使該點處的法線垂直于,練習題：,1. 在曲面,并寫出該法線方程 .,提示: 設(shè)所求點為,則法線方程為,利用,得,平面,,法線垂直于平面,點在曲面上,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 在第一卦限內(nèi)作橢球面,的切平面,使與三坐標