§35 主成分分析方法

1、第五節(jié) 主成分分析方法,主成分分析的基本原理 主成分分析的計(jì)算步驟 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,地理系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中，多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問(wèn)題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此，人們會(huì)很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來(lái)較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)變量所反映的信息？,問(wèn)題的提出：,事

2、實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的工具。 主成分分析是把原來(lái)多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，這是一種降維處理技術(shù)。,一、主成分分析的基本原理,假定有n個(gè)地理樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣,,（3.5.1）,當(dāng)p較大時(shí)，在p維空間中考察問(wèn)題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理，即用較少的幾個(gè)

3、綜合指標(biāo)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。,定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo),(3.5.2),系數(shù)lij的確定原則： ① zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無(wú)關(guān)；,② z1是x1，x2，…，xP的一切線(xiàn)性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線(xiàn)性組合

4、中方差最大者； …… zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP， 的所有線(xiàn)性組合中方差最大者。 則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱(chēng)為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。,,從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來(lái)變量xj（j=1，2 ，…， p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的荷載 lij（ i=1，2，…

5、，m； j=1，2 ，…，p）。 從數(shù)學(xué)上容易知道，從數(shù)學(xué)上可以證明，它們分別是的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。,二、計(jì)算步驟,（一）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)， rij=rji，其計(jì)算公式為：,,（3.5.3）,,,（3.5.4）,（二）計(jì)算特征值與特征向量： ① 解特征方程　　　　，常用雅可比法（Jaco

6、bi）求出特征值，并使其按大小順序排列 ；,② 分別求出對(duì)應(yīng)于特征值　的特征向量 　 ，要求 　　=1，即　　　　　，其中　表示向量 的第j個(gè)分量。,③ 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率 ▲貢獻(xiàn)率:,▲累計(jì)貢獻(xiàn)率:,一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對(duì)應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個(gè)主成分。,④ 計(jì)算

7、主成分載荷 　　　 ⑤ 各主成分的得分：,,,,,,,,,（3.5.5）,（3.5.6）,三、 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例,下面，我們根據(jù)表3.4.5給出的數(shù)據(jù)，對(duì)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)做主成分分析，,表3.4.5 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù),步驟如下：（1）將表3.4.5中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（3.5.4）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（見(jiàn)表3.5.1）。,表3.5.1　相關(guān)系數(shù)矩陣,（2）由相關(guān)

8、系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見(jiàn)表3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。,表3.5.2　特征值及主成分貢獻(xiàn)率,（3）對(duì)于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（3.5.5）計(jì)算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷

9、（表3.5.3）。,表3.5.3 主成分載荷,①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。 ②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。,