高一數(shù)學(xué)競賽講座2函數(shù)方程與函數(shù)迭代

1、江蘇省泰州中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽講稿江蘇省泰州中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽講稿函數(shù)方程函數(shù)方程高一數(shù)學(xué)備課組高一數(shù)學(xué)備課組1函數(shù)方程與函數(shù)迭代函數(shù)方程與函數(shù)迭代函數(shù)方程問題一直是各國重大競賽中的熱點(diǎn)問題，以IMO為例，在已進(jìn)行的四十七屆競賽的試題中，有30多道是函數(shù)方程的試題，幾乎是每屆一題.在我國冬令營與國家集訓(xùn)隊(duì)的測(cè)試題中，函數(shù)方程問題也是屢見不鮮的.究其原因，它往往是給出較弱的條件，卻要從中得出甚強(qiáng)的結(jié)論（一般是要直接求出表達(dá)式）.【基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知

2、識(shí)】表示某一類（或某一個(gè)）函數(shù)所具有的一定性質(zhì)的關(guān)系式叫做函數(shù)方程函數(shù)方程（其中為未知函數(shù)）.()fx如果一個(gè)函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)變量的一切值均滿足所給的方程，則稱為這個(gè)函數(shù)方程的解函數(shù)方程的解.尋求函數(shù)方()fx程的解或證明函數(shù)方程無解的過程，就是解函數(shù)方程解函數(shù)方程.我們粗略地歸納其典型的解題方法，主要可以分成以下幾類：1.換元法：換元法：2.解方程（組）法解方程（組）法3.待定系數(shù)法待定系數(shù)法4.代值減元法代值減元法當(dāng)所給的函數(shù)方程中

3、變量不止一個(gè)時(shí)，和普通方程一樣，求解時(shí)首先要設(shè)法減少變量個(gè)數(shù)，代值減元就是一種減少變量的方法，它通過適當(dāng)?shù)貙?duì)自變量賦于特殊值，從而簡化方程，逐步靠近未知結(jié)果，最終解決問題.5.柯西法柯西法先求出對(duì)于自變量取所有正整數(shù)的值時(shí)函數(shù)方程的解具有的形式，然后依次證明對(duì)自變量取整數(shù)值，有理數(shù)值以及取實(shí)數(shù)值時(shí)函數(shù)方程的解仍具有這種形式，從而得到方程的解.這里我們給出一個(gè)定理：柯西函數(shù)方程的解定理柯西函數(shù)方程的解定理：若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)，且滿足(

4、)fx()()()fxyfxfy???則（我們將此定理的證明放于例題中進(jìn)行講解.）()xyR?()(1).fxxf?6.遞歸法遞歸法借助數(shù)列對(duì)函數(shù)方程加以研究的方法.設(shè)是定義在上的函數(shù)，如果存在遞推關(guān)系和初始條()fnR?S件當(dāng)知道的值后，由可以惟一確定的值，我們稱為遞歸函數(shù)遞歸函數(shù).1(1)fa?(1)(2)()fffn?S(1)fn?()fn遞推法主要解決遞歸函數(shù)問題.7.不動(dòng)點(diǎn)法不動(dòng)點(diǎn)法一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，

5、則稱為的不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)，或()fx0xD?00()fxx?0x()fx稱為函數(shù)圖象的不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn).00()xx()yfx?對(duì)于一些簡單的函數(shù)，利用不動(dòng)點(diǎn)，把函數(shù)變形后再迭代，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，往往會(huì)使算法簡單些.【典例精析典例精析】【例1】已知求11()()xxfxfxx????().fx〖分析〗令則再令則因此可以將所得三個(gè)等式看成是關(guān)于1xtx??11xt??11yt??1yty??的三個(gè)方程，便可解得11()()()1xfxff

6、xx??().fx解：設(shè)則代入原式，得即1xtx??11xt??11()()11ffttt????11()()111ffxxx?????○1設(shè)則代入原式，得即11tx??111()()1.1ttffttt??????1121()()1xxffxxx?????○2將與原方程聯(lián)立，解得○1○2321().2(1)xxfxxx?????〖說明〗如何換元才能將已知的函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為可以求解的方程組，是一個(gè)具有技巧性的問題，它需要分析江蘇省泰州中學(xué)

7、高一數(shù)學(xué)競賽講稿江蘇省泰州中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽講稿函數(shù)方程函數(shù)方程高一數(shù)學(xué)備課組高一數(shù)學(xué)備課組3所以f(x)=0(因?yàn)閍≠0)也就是說，若f(x)≠x2，則必有f(x)≡0成立，因此結(jié)論成立?！纠?】解函數(shù)方程：對(duì)任意x，y∈R，都有f(xy)f(x－y)=2f(x)cosy5.解：解：令x=0，y=t，得f(t)f(－t)=2f(0)cost①令x=t，y=，得f(t)f(t)=0②2?2??令x=，y=＋t得f(t)f(－t)=－2f(

8、)sint③2?2??2?由(①②－③)2得f(t)=f(0)costf()sint2?所以f(x)=acosxbsinx其中a=f(0)，b=f()為常數(shù)2?經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)=acosxbsinx滿足題設(shè)條件?！纠?】求所有滿足下列條件的::fNR??()()(3)fnmfnmfnnmNnm???????6.解:令m=0，得2f(n)=f(3n).nN??令m=n=0得f(0)=0令m=n得f(2n)f(0)=f(3n)即f(2n)=

9、f(3n)于是，對(duì)任意，有f(4m)=f(6m)=f(9m)①mN??另一方面，在原恒等式中令n=3m，得f(4m)f(2m)=f(9m)因此，對(duì)任意，都有f(2m)=0。于是，對(duì)任意，都有mN??nN??11()(3)(2)022fnfnfn???故，所求的f(n)≡0才能滿足題意。【例7】函數(shù)f，g：R→R均非常數(shù)，且滿足：()()()()()(1)()()()()().(2)fxyfxgygxfygxygxgyfxfy??????

10、???求f(0)與g(0)的所有可能值。.解：解：自然地，令x=y=0，代入(1)、(2)得22(0)2(0)(0)(3)(0)(0)(0)(4)ffgggf??????若f(0)≠0，則由(3)，，由（4），有，矛盾！1(0)2g?221(0)(0)(0)04fgg?????所以f(0)=0，因此2(0)(0)gg?若g(0)=0，在(1)中令y=0，得f(x)≡0與題設(shè)不符所以g(0)=1綜上所述，f(0)=0，g(0)=1說明：我

11、們經(jīng)常會(huì)遇到函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)上取值可能不確定的情況，這就需要我們?nèi)未嬲妫⒁庾R(shí)到題目可能會(huì)有多解。【例8】求所有的函數(shù)f：R→R，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，z有①111()()()()224fxyfxzfxfyz???8.解：題設(shè)所給的是一個(gè)不等式，而不是方程，而且變?cè)腥齻€(gè)，即x，y，z。我們?cè)O(shè)法通過取一些特殊值來尋求結(jié)果。令x=y=z=1，代入①，得所以故②21(1)((1))4ff??21((1))02f??1(1)2f?令y=z=1，