微積分 總復(fù)習(xí)題及答案

1、第五章一元函數(shù)積分學(xué)例1：求不定積分sin3xdx?解：被積函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，它是由和復(fù)合而成，因sin3x()sinfuu?()3uxx???此，為了利用第一換元積分公式，我們將變形為，故有sin3x1sin3sin3(3)3xxx?111sin3sin3(3)sin3(3)3(cos)333xdxxxdxxdxxuuC????????13cos33uxxC???例2：求不定積分22(0)axdxa???解：為了消去根式，利用三解恒

2、等式，可令，則22sincos1tt??sin()22xatt??????，，因此，由第二換元積分法，所以積22222sincosaxaatat????cosdxadt?分化為222221cos2coscoscos2taxdxatatdtatdtadt??????????2222cos2(2)sin22424aaaadttdtttC???????2(sincos)2atttC???由于，所以，，利用直角三角形直接寫(xiě)sin()22xatt

3、??????sinxta?arcsin()txa?出，于是22cosaxta???鄰邊斜邊222221arcsin()22aaxdxxaxaxC??????例3：求不定積分sinxxdx?分析：如果被積函數(shù)中沒(méi)有x或sinx，那么這個(gè)積分很容易計(jì)算出來(lái)，所以()sinfxxx?可以考慮用分部積分求此不定積分，如果令u=x，那么利用分部積分公式就可以消去x（因?yàn)椋?u?解令，則，.sinuxdvxdx??dudx?cosvx??于是。si

4、n(cos)(cos)cossinxxdxudvuvvduxxxdxxxxC???????????????熟悉分部積分公式以后，沒(méi)有必要明確的引入符號(hào)，而可以像下面那樣先湊微分，然uv后直接用分部積分公式計(jì)算：sincos(coscos)cossinxxdxxdxxxxdxxxxC????????????變量t，積分限也必須也必須換成新變量t的積分限，并且原來(lái)下限對(duì)應(yīng)的參數(shù)做下限，上限對(duì)應(yīng)的參數(shù)做上限。（2）求出換元后的原函數(shù)后，不必像

5、計(jì)算不定積分那樣將它還原成x的函數(shù)，只需()t?將新變量的上、下限帶入相減即可。解為了去掉被積函數(shù)中的根式，令，即，于是，并且當(dāng)x=0時(shí)，3xt?3xt?23dxtdt?t=0；當(dāng)x=8時(shí)，t=2，因此由換元公式有22822300013(1)13111ttdxdtdtttx??????????=222000113(1)3[(1)(1)]11tdttdtdttt???????????=2223[()ln(1)]3ln3002ttt????

6、例8：計(jì)算定積分10xxedx??分析：定積分的分部積分其本質(zhì)上與先用不定積分的分部積分法求原函數(shù)，再用牛頓萊布尼茨計(jì)算定積分是一樣的因此，定積分的分部積分法的技巧和適應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型與不定積分的分部積分法完全一樣解令，，則故由分部積分公式得ux?xdvedx??xdudxve????11110001()()()0xxxxxedxxeedxeedx????????????????11210xeee???????例９求反常積分0xxedx??

7、??分析：設(shè)在或或上連續(xù)，定義反常積分()fx[)a??(]b??()????()lim()baabfxdxfxdx????????()lim()bbaafxdxfxdx????????00()()()fxdxfxdxfxdx?????????????若上述極限存在，則稱(chēng)相應(yīng)的反常積分收斂，否則稱(chēng)其發(fā)散解因?yàn)?000()()[()]0bbbbxxxxbxbxedxxdexeedxbeedx???????????????????，1()1