近世代數(shù)第二章答案

1、第1頁(yè)共21頁(yè)近世代數(shù)第二章群論答案近世代數(shù)第二章群論答案1.1.群的定義群的定義1.全體整數(shù)的集合對(duì)于普通減法來(lái)說(shuō)是不是一個(gè)群？解：不是，因?yàn)槠胀p法不是適合結(jié)合律。例如??321312???????321110?????????321321?????2.舉一個(gè)有兩個(gè)元的群的例。解：令的乘法由下表給出G?ea??G首先，容易驗(yàn)證，這個(gè)代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律(1)????xyzxyzxyzG???????????因?yàn)椋捎?，若是元素?1)

2、中出現(xiàn)，那么(1)成立。eaaea??e(參考第一章，4，習(xí)題3。)若是不在(1)中出現(xiàn)，那么有e??aaaeaa????aaaaea??而(1)仍成立。其次，有左單位元，就是；有左逆元，就是，有左逆元，Geeea就是。所以是一個(gè)群。aG讀者可以考慮一下，以上運(yùn)算表是如何作出的。3.證明，我們也可以用條件Ⅰ，Ⅱ以及下面的條件，來(lái)做群IV?V?第3頁(yè)共21頁(yè)的假設(shè)矛盾。這樣，也是的階，易見(jiàn)。n1a?1aa??否則21==aaae?與的假設(shè)

3、矛盾。這樣，我們就有一對(duì)不同的階大于2的元2n和。a1a?設(shè)還有元，，，并且b的階大于2。那么的階也Gbba?1ba??1b?大于2，并且。我們也有。1bb??1ba??否則1111===ebbaaba????消去得，與假設(shè)矛盾。同樣可證。這樣，除和1b?1=ba?11=ba??a外，又有一對(duì)不同的階大于2的元和。1a?b1b?由于是有限群，而的階大于2的元總是成對(duì)出現(xiàn)，所以里GGG這種元的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。3.假定是一個(gè)階是偶數(shù)的有限群