線(xiàn)性代數(shù)同濟(jì)六版知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、1.二階行列式二階行列式對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則:|11122122|=1122?12212.三階行列式三階行列式①對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則②按行（列）展開(kāi)法則按行（列）展開(kāi)法則3.全排列：全排列：n個(gè)不同的元素排成一列。個(gè)不同的元素排成一列。所有排列的種數(shù)用所有排列的種數(shù)用表示，表示，=n！逆序數(shù)：對(duì)于排列逆序數(shù)：對(duì)于排列…，如果排在元素，如果排在元素前面，且比前面，且比大的元素個(gè)數(shù)有大的元素個(gè)數(shù)有個(gè)，則個(gè)，則這個(gè)元素的逆序數(shù)為這個(gè)元素的逆序

2、數(shù)為。12整個(gè)排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。整個(gè)排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。n個(gè)元素的所有排列中，奇偶各占一半，即個(gè)元素的所有排列中，奇偶各占一半，即!2對(duì)換：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性對(duì)換：一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.4.其中：其中：是123的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，123

3、t()是排列是排列的逆序數(shù)的逆序數(shù)1231235.下三角行列式下三角行列式:副三角跟副對(duì)角相識(shí)副三角跟副對(duì)角相識(shí)對(duì)角行列式：對(duì)角行列式：副對(duì)角行列式：副對(duì)角行列式：6.行列式的性質(zhì)：行列式的性質(zhì)：①行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（轉(zhuǎn)置：行變列，列變行）（轉(zhuǎn)置：行變列，列變行）。D=②互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。，行列式變號(hào)。推論推論：兩行（列）相同的行列式值為零。：兩行（列）相同的行

4、列式值為零?；Q兩行：互換兩行：?③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式。第乘此行列式。第i行乘行乘k：xk推論推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外面④行列式中如果有兩行（列）元素成比例行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于，則此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的

5、元素都是兩個(gè)元素和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。如：若行列式的某一列（行）的元素都是兩個(gè)元素和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。如把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。如第j列的列的k倍加到第倍加到第i列上：列上：333231232221131211aaaaaaaaa3221312312332211

6、aaaaaaaaa13???312213332112322311aaaaaaaaa???32132123312322211312113j2j1j)jjt(j33aaaaaaaaaaaa1)(???nn2211nnn2n1222111...aaaa...aa0aaa????n...λλλλλλ21n21??n21λλλ?n2121)n(nλλλ1)(?????nnnjnjn2n12n2j2j22211n1j1j1211a)c(baaa)c

7、(baaa)c(baa?????????????nnnjn2n12n2j22211n1j1211nnnjn2n12n2j22211n1j1211acaaacaaacaaabaaabaaabaa??????????????????????nnnjnjnin12n2j2j2i211n1j1j1i11aakaaaaakaaaaakaaa????????????????nnnjnin12n2j2i211n1j1i11aaaaaaaaaaaa??

8、??????????????1212diagnn?????????????????????????111???????????????E?2.矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算1）加法：只有兩個(gè)矩陣為同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。）加法：只有兩個(gè)矩陣為同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算。AB等于對(duì)應(yīng)元素相加起來(lái)。滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律等于對(duì)應(yīng)元素相加起來(lái)。滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律2）數(shù)與矩陣相乘）數(shù)與矩陣相乘①()()AA?????，②，()???????AAA③(

9、)??????ABAB3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；）矩陣與矩陣相乘：要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個(gè)矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個(gè)矩陣的列數(shù)；11221sijijisijsjkkkijcabababab????????即：乘積矩陣的第即：乘積矩陣的第行，第行，第列元素為前一個(gè)矩陣的第列元素為前一個(gè)矩陣的第行元素與后一個(gè)矩

10、陣的第行元素與后一個(gè)矩陣的第行元素對(duì)應(yīng)相乘再行元素對(duì)應(yīng)相乘再ijij相加。相加。注意：一般情況下：注意：一般情況下：AB≠BA。但是滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律。但是滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律。EA=AE=A4）矩陣的冪：若）矩陣的冪：若A是n階方陣，則：階方陣，則：顯然：顯然：2=3=2……=?122222()()2()()kkkABABABAABBABABAB?????????3.矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，

11、記作的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，記作AT.如：如：性質(zhì)：性質(zhì)：設(shè)A為n階方陣，如果滿(mǎn)足階方陣，如果滿(mǎn)足，即，即，則，則A為對(duì)稱(chēng)陣為對(duì)稱(chēng)陣A==如果滿(mǎn)足如果滿(mǎn)足，即，即，則，則A為反對(duì)稱(chēng)陣為反對(duì)稱(chēng)陣A==4.方陣的行列式：由方陣的行列式：由n階方陣階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作的行列式，記作|A|或detA.性質(zhì)：性質(zhì)：①，②，③。T||||?AA||||n???AA||||||?A

12、BAB5.伴隨矩陣：伴隨矩陣：其中其中是的代數(shù)余子式，的代數(shù)余子式，稱(chēng)為稱(chēng)為的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。（特別注意符號(hào)）（特別注意符號(hào)）AAA、B可交換時(shí)才成立可交換時(shí)才成立()klklklklAAAAA???122458A???????142528TA???????????(1)()TTAA?(2)()TTTABAB???(3)()TTAA???(4)().TTTABBA?112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA?????