現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題

1、1.設(shè)是離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，證明其功率譜是離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，證明其功率譜。??un??w0S?證明：將通過(guò)沖激響應(yīng)為的LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)其頻率響應(yīng)為??un??hn??wH輸出隨機(jī)過(guò)程的功率譜為??001www0wwwHw????????????yn??????2ySwHwSw?輸出隨機(jī)過(guò)程的平均功率為??yn??????002011r022wwyywwSwdwSwdw???????????當(dāng)頻率寬度時(shí)，上式可表示為w0???

2、???????01r00ySww????由于頻率是任意的，所以有0w??w0S?3、已知：狀態(tài)方程觀測(cè)方程)()1()1()1()(1nnnnxnnFnx???????)()()()(2nnxnCnz???)()]()([111nQnnEH???)()]()([222nQnnEH???濾波初值濾波初值)]0([)|0(0xEx???)]]0([)0()]][0([)0([)0(HxExxExEP???請(qǐng)簡(jiǎn)述在此已知條件下卡爾曼濾波算法的

3、遞推步驟。請(qǐng)簡(jiǎn)述在此已知條件下卡爾曼濾波算法的遞推步驟。解：步驟1狀態(tài)一步預(yù)測(cè)，即111)|1(?)1()|(NnnCnxnnFnx?????????步驟2由觀測(cè)信號(hào)z(n)計(jì)算新息過(guò)程，即111)|(?)()()|(?)()(MnnCnxnCnznznzn??????????步驟3一步預(yù)測(cè)誤差自相關(guān)矩陣NNHHCnnnQnnnnFnPnnFnnP1)1()1()1()1()1()1()1(????????????步驟4新息過(guò)程自相關(guān)矩

4、陣MMHCnQnCnnPnCnA2)()()1()()(????步驟5卡爾曼增益MNHCnAnCnnPnK1)()()1()(????或)()()()(12nQnCnPnKH??步驟6狀態(tài)估計(jì)11)()()|(?)|(?NnnCnnKnxnx???????步驟7狀態(tài)估計(jì)自相關(guān)矩陣NNCnnPnCnKInP)1()]()([)(????或)()()()]()()[1()]()([)(2nKnQnKnCnKInnPnCnKInPHH????

5、?步驟8重復(fù)步驟17，進(jìn)行遞推濾波計(jì)算4、經(jīng)典譜估計(jì)方法：經(jīng)典譜估計(jì)方法：答：(1)連續(xù)時(shí)間信號(hào)相應(yīng)的維納－辛欣定理主要內(nèi)容：連續(xù)時(shí)間信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：))(()()(??????xjxxRFdeRS?????????????deSRjxx?????)(21)((2)離散時(shí)間信號(hào)相應(yīng)的維納－辛欣定理主要內(nèi)容：離散時(shí)間信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：mjmxjxemReS?????????)()(??

6、????deeSmRmjjxx???)(21)(8、舉例說(shuō)明卡爾曼濾波的應(yīng)用場(chǎng)景。、舉例說(shuō)明卡爾曼濾波的應(yīng)用場(chǎng)景。答：假設(shè)要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)經(jīng)驗(yàn)不是100%的可信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配（G

7、aussianDistribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲?，F(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先要根據(jù)k1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)榧俣囟仁呛愣ǖ?，所以k時(shí)刻的

8、溫度預(yù)測(cè)值是跟k1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，預(yù)測(cè)的不確定度是4度，二者平方相加再開方，就是5）。然后，從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的covariance來(lái)判斷。因?yàn)镵g^2=5^2(5^24^2)，所以Kg=

9、0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：230.78(2523)=24.56度?？梢钥闯?，因?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較小（比較相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值。現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值，下一步就是要進(jìn)入k1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。在進(jìn)入k1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1Kg)5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值

10、的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。9、離散時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)()sn是一個(gè)一階的是一個(gè)一階的AR過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)||()01ksRkaa???，兩觀測(cè)，兩觀測(cè)數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為()()()xnsnvn??，其中，其中()sn和()vn不相關(guān)，且不相關(guān)，且()vn是一個(gè)均值是是一個(gè)均值是0，方差為，方差為2v?的白噪聲，設(shè)計(jì)維納濾波器的白噪聲，設(shè)計(jì)維納濾波器()Hz。