實變函數(shù)習(xí)題解答

1、第二章習(xí)題解答1、證明的充要條件是對任意含有的鄰域U(，)（不一定以0P?E?0PP?為中心）中，恒有異于的點屬于（事實上，這樣的還有無窮多個）。0P0P1PE1P而的充要條件則是有含的鄰域U(，)（同樣，不一定以為中心）0P?0E0PP?0P存在，使U(，)。P??E證明：（1）充分性，用反證法，若，則的某一鄰域U(，)0P?E?0P0P0?中至多有有限個異于的點，，…，屬于，令d(，)0P1X2XnXEni??1min0Pix=，在

2、U(，)中不含異于的點屬于，這與條件矛盾。??0P??0PE必要性，設(shè)U(，)是任意一個含有的鄰域，則d(，)0，則U(，)U(，)。因為，所以，在U(1??0PP0P1??P?0P?E?，)中含于無窮多個屬于的點，其中必有異于的點，即U(，)0P1?E0P1PP?中有異于的點。0P1P（2）必要性是顯然的，下面證明充分性，設(shè)含有的鄰域U(，)，0PP??E則d(，)，令=d(，)，則U(，)U(，)，從而U(0PP?1??0PP0P1

3、??P?，)，故。0P1??E0P?0E2、設(shè)=是全體實數(shù)，是[0，1]上的全部有理點，求，，nRR?1E1E?01E1E。解：=[0，1]，=，=[0，1]。1E?01E?1E3、設(shè)=是普通的平面，=(，)|1，求，nR2Rxoy2Exy2x2y2E?，。02E2E解：=(，)|≤1，2E?xy2x2y=(，)|1，02Exy2x2y=(，)|≤1。2Exy2x2y4、設(shè)=是普通的平面，是函數(shù)=的圖形nR2Rxoy3Ey???????

4、0001sinxxx當(dāng)當(dāng)上的點作成的集合，求，。3E?03E969798≤d(，)，所以，U(，ε)，故是開集。x0yn1x?nG0x?nGnG以下證明＝。顯然(＝1，2，…)，所以。F??1n?nGF?nGnF???1n?nG?x，有(＝1，2，…)、d(，)，令→∞得，d(，)???1n?nGx?nGnxFn1nxF＝0，所以或。因為是閉集。所以，故。于是x?Fx?F?FF??Fx?F??1n?，所以＝。nG?FF??1n?nG設(shè)為

5、開集，則C為閉集，所以存在開集，使C＝，而GGnGG??1n?nG＝C(C)＝C()＝C，C為閉集，即可表示為可數(shù)個閉集的和GG??1n?nG??1n?nGnGG集。10、證明用十進(jìn)位小數(shù)表示[0，1]中的數(shù)時，用不著數(shù)字7的一切數(shù)成一完備集。證明：在[0，1]中，第一位小數(shù)用到數(shù)字7的小數(shù)是(0.7，0.8)，第二位小數(shù)用到7的小數(shù)是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。第位小數(shù)用到數(shù)字7的小