初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)（第05講）[1]

1、第五講第五講恒等式的證明恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識(shí)較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識(shí)與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一本講主要介紹恒等式的證明首先復(fù)習(xí)一下基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形恒等式的證明，

2、就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等證明恒等式，沒(méi)有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問(wèn)題，采用不同的變形技巧，使證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)捷一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明對(duì)于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡(jiǎn)化下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧1由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡(jiǎn)”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將

3、等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)例1已知xyz=xyz，證明：x(1y2)(1z2)y(1x2)(1z2)z(1x2)(1y2)=4xyz分析分析將左邊展開(kāi)，利用條件xyz=xyz，將等式左邊化簡(jiǎn)成右邊證因?yàn)閤yz=xyz，所以左邊=x(1z2y2y2z2)y(1z2x2x2z2)(1y2x2x2y2)=(xyz)xz2xy2xy2z2yz2yx2yx2z2zy2zx2zx2y2=xyzxy(yx)xz(xz)yz(yz)xyz(xyyzz

4、x)=xyzxy(xyzz)xz(xyzy)yz(xyzx)xyz(xyyzzx)=xyzxyzxyzxyz=4xyz=右邊說(shuō)明說(shuō)明本例的證明思路就是“由繁到簡(jiǎn)”分析分析用比差法證明左右=0本例中，這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)具有這種特性的式子叫作輪換式利用這種特性，可使輪換式