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1、第三講復(fù)數(shù)域上的極限與連續(xù)一定義距離(兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的距離)兩個(gè)復(fù)數(shù)的距離為11122zzxiyzxiy????.2212121212()()()zzzzxxyy???????有了兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的距離后容易得出下面的結(jié)論(如圖2.1).1212121212maxxxyyzzxxyy????????二復(fù)數(shù)序列的極限復(fù)數(shù)列存在使得1nnz??0z?@對(duì)當(dāng)時(shí)有0limnnzz????00N?????nN??.0nzz???圖2.1引理若則0001
2、2nnnzxiynzxiy??????.000limlimlimnnnnnnxxzzyy???????????????三復(fù)函數(shù)的極限定義設(shè)單值函數(shù)是D的一個(gè)聚點(diǎn)(非孤立點(diǎn)).若:fD?@()wfz?000zxiy??對(duì)于當(dāng)時(shí)有則稱當(dāng)時(shí)0???0???00zz????()fzA???()fz0zz?以A為極限記為.0lim()zzfzA??引理設(shè)則有000zxiyzxiy????()()()wfzuxyivxyAaib?????.0000
3、0()()()()lim()lim()lim()xyxyzzxyxyuxyafzAvxyb????????????四復(fù)函數(shù)的連續(xù)復(fù)函項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂收斂.1()kkuz????1()kkuz???補(bǔ)充內(nèi)容:實(shí)數(shù)域上有211!2!!nxxxxen????????321sin(1)3!(21)!nnxxxxn??????????22cos1(1)2!(2)!nnxxxn????????下面把上面的情況推廣到復(fù)數(shù)域上:(1)形式上的令()2()
4、()11!2!!nixixixixen????????x?@由得.21i??cossinixexix??下面是對(duì)Euler公式的嚴(yán)格定義和證明:設(shè)對(duì)令得到序列不妨設(shè)z?@12n??211!2!!nnzzzzn??????nz那么mn?(1)1212(1)!(2)!!(1)!(2)!!nnmnnmmnzzzzzzzznnmnnm???????????????????再對(duì)實(shí)數(shù)序列進(jìn)行分析收斂于因?yàn)?11!2!!nnzzzan??????na
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