求展開式系數(shù)的六種常見類型

1、1求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一本文以高考題為例，對(duì)二項(xiàng)式定理試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一、型)()(???Nnban例1的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（）10(2)xy?64xy（A）840（B）－840（C）210（D）－210解析：在通項(xiàng)公式中令=4，即得的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為1rT??1010(2)rrrCyx??r10(2)xy?64xy=840故選A。44

2、10(2)C?例2展開式中的系數(shù)為。8)1(xx?5x解析：通項(xiàng)公式，由題意得，則，故所求的rrrrrrrxCxxCT2388881)1()1(???????5238??r2?r5x系數(shù)為。28)1(282??C評(píng)注：評(píng)注：常用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中某特定項(xiàng)的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定的值。r二、型)()()(?????Nmndcbamn例3的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)等于.843)1()2(xxxx???解析；的通項(xiàng)公式為令，則這

3、時(shí)得342()xx?341241442()()(2)rrrrrrrTCxCxx???????0412??r3?r的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為=－32的通項(xiàng)公式為令342()xx?3342C?81()xx?8821881()kkkkkkTCxCxx?????，則這時(shí)得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為=70，故的展開式中常數(shù)028??k4?k81()xx?48C843)1()2(xxxx???項(xiàng)等于。387032???例4在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）65)

4、1()1(xx???3x(A)(B)5(C)(D)105?10?解析：中的系數(shù)中的系數(shù)為故的5)1(x?3x35C??10?6)1(x??3x336(1)C????2065)1()1(xx???展開式中的系數(shù)為故選D。3x10評(píng)注：評(píng)注：求型如的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng))()()(?????Nmndcbamn式加減法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。三、型)()()(????Nmndcbamn3項(xiàng)式中選一個(gè)取，從剩余的3個(gè)三項(xiàng)

5、式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得；從其中兩個(gè)取1x11335431(2)2022CCC?????，從另外3個(gè)三項(xiàng)式中選兩個(gè)取，從剩余的1個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得；2x1x22253115()2222CC????從5個(gè)相乘的三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得=。1(2)2xx??555(2)C?42綜上，的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為。5)212(??xx1526322024222???評(píng)注：評(píng)注：解法一、解法二的共同特點(diǎn)是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二

6、項(xiàng)式來解決。解法三是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項(xiàng)。五、型1()()()(1)mmnabababmnNmn????????????例8在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是。（用數(shù)字作答）62)1()1()1(xxx???????2x解析：由題意得項(xiàng)的系數(shù)為。2x352625242322?????CCCCC例9在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展開式中，

7、含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()(A)74(B)121(C)－74(D)－121解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)xxxxxx?????????中的系數(shù)為，中的系數(shù)為－－1265=－121故選D。5)1(x?4x455C?9)1(x??4x49126C??評(píng)注：評(píng)注：例8的解法是先求出各展開式中項(xiàng)的系數(shù)，然后再相加；例9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為2x(1－x)，公比為(

8、1－x)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和，用等比數(shù)列求和公式減少項(xiàng)數(shù)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8和例9的解5答方法是求的展開式中某特定項(xiàng)系數(shù)的兩種常規(guī)方法。1()()()(1)mmnabababmnNmn????????????六、求展開式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差、求展開式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差例10若，2004200422102004...)21(xaxaxaax??????)(Rx?則。(用數(shù)字作答)_______)()()()(20040302010????