第八章 層次分析法

1、0第八章第八章層次分析法層次分析法層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，簡稱AHP）是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。一種簡便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。1層次分析法的基本原理與步驟人們在進(jìn)行社會的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類問題的決策和排序

2、提供了一種新的、簡潔而實(shí)用的建模方法。運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個步驟進(jìn)行：（i）建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；（ii）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（iii）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（iv）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面分別說明這四個步驟的實(shí)現(xiàn)過程。1.1遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點(diǎn)應(yīng)用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若

3、干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：（i）最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。（ii）中間層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。（iii）最底層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜

4、程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個。這是因?yàn)橹涞脑剡^多會給兩兩比較判斷帶來困難。下面結(jié)合一個實(shí)例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。例1假期旅游有、、3個旅游勝地供你選擇，試確定一個最佳地點(diǎn)。1P2P3P在此問題中，你會根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較3個侯選地點(diǎn)?？梢越⑷缦碌膶哟谓Y(jié)構(gòu)模型。目標(biāo)層選擇旅游地O準(zhǔn)則層景色費(fèi)用居住飲食旅途C措施層P1P2P

5、3P1.2構(gòu)造判斷矩陣2最后，應(yīng)該指出，一般地作次兩兩判斷是必要的。有人認(rèn)為把所有元2)1(?nn素都和某個元素比較，即只作個比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一1?n個判斷的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個別判斷的失誤對于難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行次比較可以提供更多的信息，通過各種不同角度的反2)1(?nn復(fù)比較，從而導(dǎo)出一個合理的排序。1.3層次單排序及一致性檢驗(yàn)判斷矩陣對應(yīng)于最大特征值的特征向量，經(jīng)歸一化后即為同一層次

6、相Amax?W應(yīng)因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：A，ikjkijaaa?nkji21???（1）定義2滿足關(guān)系式（1）的正互反矩陣稱為一致矩陣。需要檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣是否嚴(yán)重地非一致，以便確定

7、是否A接受。A定理1正互反矩陣的最大特征根必為正實(shí)數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有Amax?分量均為正實(shí)數(shù)。的其余特征值的模均嚴(yán)格小于。Amax?定理2若為一致矩陣，則A（i）必為正互反矩陣。A（ii）的轉(zhuǎn)置矩陣也是一致矩陣。ATA（iii）的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而（同樣，的A1)(rank?AA任意兩列也成比例）。（iv）的最大特征值，其中為矩陣的階。的其余特征根均為An?max?nAA零。（v）若的最大特征值對應(yīng)的特征向量為，