第三章 域 論

1、41第三章第三章域論11子域與擴域子域與擴域1.證明子域的交仍是子域.證明設(shè)是域的一族子域.顯然.其次設(shè).于是IiiF?FiIiF???1iIiFba???從而當時.因此iFba?Ii??iFabba??Ii??0?aiFa??1Ii??當時.所以是域的子域.iIiFabba????0?aiIiFa????1iIiF??F2.設(shè)域的特征為對于任意的證明:FpFba?(1)nnnpppbaba???)((2).????????1011)(

2、piipipbaba證明(1)由于域是整環(huán)根據(jù)第二章5習(xí)題第12題我們有.nnnpppppbababa?????)((2)當時我們有ba?.01101????????ppiipipaba因此.當時我們有????????1011)(piipipbababa?.ppppiipibabababa)()(101??????????因為根據(jù)消去律由上式可得.0??ba????????1011)(piipipbaba3.證明和(是素數(shù))都是素域.Q

3、pZp證明設(shè)是的子域.于是從而.由于是域因此當FQF?1F?ZF且0?n時從而.這就表明是素域.Z?nmFnm?Q?FQ設(shè)是的子域.于是加群是加群的子群從而.由是域可知FpZFpZpF|||F.因為是素數(shù)所以從而.這就表明是素域.2||?FppF?||pFZ?pZ4.在中求(關(guān)于乘法)的逆元.)2(3Q33421??證明由于因此的逆元為.11)2()12)(421(33333??????33421??123?5.證明.)32()32(?

4、?QQ證明顯然因此.另一方面由)32(32Q??)32()32(QQ??于因此.這樣一來注意到1)23)(23(???)32(23???Q))23()23((213????))23()23((212????可以斷言從而.所以)32(32??Q)32()32(??QQ.)32()32(??QQ6.設(shè)是域的擴域且是素數(shù)證明:與之間沒有非平凡的中間域.EF]:[FEFE證明假設(shè)是與的中間域.根據(jù)定理1.9.由于LFE]:][:[]:[FLLE

5、FE?43可見.不妨假設(shè).于是是上的向量空間的一個基.)(2uFE?0?nnuuu221?FE顯然是上的向量空間中個線性無關(guān)的向量從而nnuuu22221??F)(2uF1?n.根據(jù)定理1.9.這樣由1]:)([2??nFuF]:)()][(:[]:[22FuFuFEFE?和可知從而.所以12]:[??nFE1]:)([2??nFuF2)](:[2?uFE1)](:[2?uFE.)(2uFE?總之.)(2uFE?4.證明:在上是代數(shù)的其

6、極小多項式的次數(shù)為.32?Q4證明根據(jù)1習(xí)題第5題.根據(jù)第2題)32()32(??QQ即.這樣一來根據(jù)定理2.6在4]:)32([?QQ4]:)32([??QQ32?上是代數(shù)的其極小多項式的次數(shù)為.Q4注的極小多項式為.32?110)(24???xxxm5.設(shè)是域的有限擴域是上的代數(shù)元其極小多項式的次數(shù)為證EFEα?Fn明.]:[|FEn證明由于是域的有限擴域因此.根據(jù)定理1.9我們有EF??][FE.]:)()][(:[]:[FαFα

7、FEFE?由于的極小多項式的次數(shù)為根據(jù)定理2.6.這樣根據(jù)上式可以斷αnnFαF?]:)([言.]:[|FEn33代數(shù)擴域代數(shù)擴域1.設(shè)是域的代數(shù)擴域證明:存在使.EFEα?0?α][)(xFxf?)(1αfα??證明由于是域的代數(shù)擴域因此在上是代數(shù)的.這樣一來根據(jù)定理EFαF2.6.顯然.所以存在使.][)(αFαF?)(1αFα??][)(xFxf?)(1αfα??2.設(shè)是域的擴域是上的代數(shù)元證明:EFEβα?F1??αβαββα(

8、)均為上的代數(shù)元.0?βF證明由于是上的代數(shù)元因此.由于是上的代數(shù)元因此αF??])([FαFβF是上的代數(shù)元從而.這樣一來根據(jù)定理1.9β)(αF??)]())(([αFβαF.此外根據(jù)命題1.7.所以.由于??]))(([FβαF))(()(βαFβαF???])([FβαF根據(jù)定理3.2和為上的代數(shù)元.同理當時)(βαFαββα??βα?αβF0?β因此為上的代數(shù)元..)(1βαFαβ??1?αβF3.設(shè)是域的有限擴域證明:存在中