有限元講義

1、1.4協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)、廣義協(xié)調(diào)及分電檢驗協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)、廣義協(xié)調(diào)及分電檢驗1、4、0引以有限元數(shù)值分析的技術(shù)實現(xiàn)為目的本門課程，不僅要求學(xué)生能夠進行實際以有限元數(shù)值分析的技術(shù)實現(xiàn)為目的本門課程，不僅要求學(xué)生能夠進行實際的工程運算；另一方面也需要對解的收斂及精確性有所了解，是能從細節(jié)計算的工程運算；另一方面也需要對解的收斂及精確性有所了解，是能從細節(jié)計算到理論性質(zhì)都有所把握，這樣，才能做到全面深入有助于對解結(jié)果得理論分析，到理論性質(zhì)都有所把握

2、，這樣，才能做到全面深入有助于對解結(jié)果得理論分析，此為基本之目的。此為基本之目的。1、4、1協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)介紹協(xié)調(diào)、非協(xié)調(diào)介紹位移法有限元以位移法有限元以Ritz的結(jié)構(gòu)最小有限元為基礎(chǔ)，該原理在數(shù)學(xué)上是一個泛的結(jié)構(gòu)最小有限元為基礎(chǔ)，該原理在數(shù)學(xué)上是一個泛函極值（變分）問題，系統(tǒng)勢能可以表為以下數(shù)學(xué)形式：函極值（變分）問題，系統(tǒng)勢能可以表為以下數(shù)學(xué)形式：==12(1)???????dT?????dpuT??tTdpu＝0。??表述為：在所有

3、滿足內(nèi)部連續(xù)性和運動學(xué)邊界條件的位移中滿足平衡方程的位表述為：在所有滿足內(nèi)部連續(xù)性和運動學(xué)邊界條件的位移中滿足平衡方程的位移使系統(tǒng)勢能取駐值。如果駐值是極小點的，則平分行是穩(wěn)定階。移使系統(tǒng)勢能取駐值。如果駐值是極小點的，則平分行是穩(wěn)定階。又：對于精確于問題的位移函數(shù)，系統(tǒng)勢能的變分可求得關(guān)于問題應(yīng)滿足的所又：對于精確于問題的位移函數(shù)，系統(tǒng)勢能的變分可求得關(guān)于問題應(yīng)滿足的所有微分方程：平衡方程邊界條件（幾何關(guān)系及物理方程是自然滿足的）有微

4、分方程：平衡方程邊界條件（幾何關(guān)系及物理方程是自然滿足的）遺憾的是精確位移難得尋找，故一般采用泛函的極小化序列逼近方法。類似于遺憾的是精確位移難得尋找，故一般采用泛函的極小化序列逼近方法。類似于傅立葉級數(shù)逼近函數(shù)那樣，把無窮維空間用有限空間去逼近。在有限元當(dāng)中，傅立葉級數(shù)逼近函數(shù)那樣，把無窮維空間用有限空間去逼近。在有限元當(dāng)中，當(dāng)元素尺寸趨近于當(dāng)元素尺寸趨近于0時（即節(jié)點數(shù)目或節(jié)點自由度數(shù)趨于時（即節(jié)點數(shù)目或節(jié)點自由度數(shù)趨于時）時），最

5、后的解答，最后的解答?若能無限逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)（或形狀函數(shù)）就稱為收斂的，因若能無限逼近準(zhǔn)確解，那么這樣的位移函數(shù)（或形狀函數(shù)）就稱為收斂的，因此從收斂性及算收斂速度方面提出幾點對形狀函數(shù)的要求：此從收斂性及算收斂速度方面提出幾點對形狀函數(shù)的要求：①、函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)在元素上連續(xù)，并含有常數(shù)部分；、函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)在元素上連續(xù)，并含有常數(shù)部分；②、元素之間的位移協(xié)調(diào)，不僅節(jié)點處的位移應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)，沿整個內(nèi)邊界上的位、元素之

6、間的位移協(xié)調(diào)，不僅節(jié)點處的位移應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)，沿整個內(nèi)邊界上的位移也應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)（或稱相容移也應(yīng)當(dāng)協(xié)調(diào)（或稱相容）。③、多項式的項數(shù)越多越好，因用高次比低次多項式收斂快。、多項式的項數(shù)越多越好，因用高次比低次多項式收斂快。④、含有剛體位移（平動包含常數(shù)項，轉(zhuǎn)動包含線性項）、含有剛體位移（平動包含常數(shù)項，轉(zhuǎn)動包含線性項）。協(xié)調(diào)之：協(xié)調(diào)之：即滿足即滿足①、②條件的形狀函數(shù)的元素，當(dāng)然能滿足條件的形狀函數(shù)的元素，當(dāng)然能滿足3)4)條件協(xié)調(diào)條件協(xié)調(diào)元的收

7、斂率就更高。元的收斂率就更高。協(xié)調(diào)元的性質(zhì)：協(xié)調(diào)元的性質(zhì)：1)能夠以單調(diào)趨勢逼近于正確解。如曲線能夠以單調(diào)趨勢逼近于正確解。如曲線①.①.2)勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。3)近似剛度近似剛度k偏大，即元素偏偏大，即元素偏“硬”。4)近似的位移偏小，即求得位移的下界。近似的位移偏小，即求得位移的下界。能夠以單調(diào)趨勢逼近于正確解。如曲線能夠以單調(diào)趨勢逼近于正確解。如曲線②.勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得

8、上界。勢能總是大于最小狀態(tài)，故解得上界。近似剛度近似剛度k偏大，即元素偏偏大，即元素偏“硬”。近似的位移偏小，即求得位移的下界近似的位移偏小，即求得位移的下界非協(xié)調(diào)元：在彈性力學(xué)中，如板彎曲，相鄰元素不僅要求位移本身連續(xù)，而且非協(xié)調(diào)元：在彈性力學(xué)中，如板彎曲，相鄰元素不僅要求位移本身連續(xù)，而且要求位移的導(dǎo)數(shù)連續(xù)（板彎邊界上的相容性）要求位移的導(dǎo)數(shù)連續(xù)（板彎邊界上的相容性）。而在工程上能夠保證導(dǎo)數(shù)相容的。而在工程上能夠保證導(dǎo)數(shù)相容的形變往

9、往難以找到，以致工程上只能采用違反相容原則的一些形狀函數(shù)，由違形變往往難以找到，以致工程上只能采用違反相容原則的一些形狀函數(shù)，由違min?內(nèi)力勢能體力勢能面力勢能給點數(shù)?①②①②③④邊上，其變化規(guī)律位一條二次拋物線，需要三個點上法向?qū)?shù)的相等條件才能邊上，其變化規(guī)律位一條二次拋物線，需要三個點上法向?qū)?shù)的相等條件才能維一確定，故相鄰兩條曲線一般不全重合。維一確定，故相鄰兩條曲線一般不全重合。故所舉三角板彎元為非協(xié)調(diào)元。故所舉三角板彎元為

10、非協(xié)調(diào)元。例②書P的矩形元，由于坐標(biāo)的交叉雙乘積（不完備）的矩形元，由于坐標(biāo)的交叉雙乘積（不完備），可發(fā)現(xiàn)不該是，可發(fā)現(xiàn)不該是w或53其導(dǎo)數(shù)其導(dǎo)數(shù)，都是連續(xù)的，這樣只要節(jié)點的這些參數(shù)相同，邊界上的這些是都是連續(xù)的，這樣只要節(jié)點的這些參數(shù)相同，邊界上的這些是yx??yw??沒有問題的，但展開沒有問題的，但展開N的項，可以發(fā)現(xiàn)的項，可以發(fā)現(xiàn)xy項，或者說缺少了代表熱率變形項，或者說缺少了代表熱率變形22的一項，因此，作為形狀函數(shù)，是不能保證

11、向正確的解答收斂，因而是非協(xié)調(diào)的一項，因此，作為形狀函數(shù)，是不能保證向正確的解答收斂，因而是非協(xié)調(diào)元。改進方案之一，是在節(jié)點處增加節(jié)點參數(shù)元。改進方案之一，是在節(jié)點處增加節(jié)點參數(shù)，并采用完全的埃爾米特三，并采用完全的埃爾米特三yxw???2次多項式。次多項式。1、4、2非協(xié)調(diào)元的排先檢檢驗非協(xié)調(diào)元的排先檢檢驗協(xié)調(diào)元雖可以保證總位能從上往下地正確結(jié)果單調(diào)收斂，但往往過于復(fù)雜，使協(xié)調(diào)元雖可以保證總位能從上往下地正確結(jié)果單調(diào)收斂，但往往過于復(fù)

12、雜，使用麻煩。用麻煩。在工程上往往使用形式簡單的非協(xié)調(diào)元，自然，最小位能原理對此不再適用，在工程上往往使用形式簡單的非協(xié)調(diào)元，自然，最小位能原理對此不再適用，那么在什么條件下，這類元素才能導(dǎo)致向正確解收斂呢？那么在什么條件下，這類元素才能導(dǎo)致向正確解收斂呢？Irons提出了一個稱提出了一個稱作“拼片實驗拼片實驗”（patchtest）的檢驗方法。實踐表明，這種檢驗方法是有效的，的檢驗方法。實踐表明，這種檢驗方法是有效的，但“拼片實驗拼片

13、實驗”的理論證明尚不清楚。拼片試驗內(nèi)容為的理論證明尚不清楚。拼片試驗內(nèi)容為“假設(shè)由若干元素拼成假設(shè)由若干元素拼成的一個任意拼片處于等應(yīng)力狀態(tài)，這時，其位移函數(shù)的一個任意拼片處于等應(yīng)力狀態(tài)，這時，其位移函數(shù)w(xy)一般可用一一般可用一m階完全多項式函數(shù)完全多項式函數(shù)P(xy)表示，表示，（入在薄板問題中，（入在薄板問題中，m=2），而且，在這，而且，在這m一拼片的邊界上，也設(shè)置了符合等應(yīng)變狀態(tài)的位移邊界條件。然后，將需要檢一拼片的邊界上

14、，也設(shè)置了符合等應(yīng)變狀態(tài)的位移邊界條件。然后，將需要檢驗的某種元素按此條件進行計算。如果最后得到的有限元法解答能和驗的某種元素按此條件進行計算。如果最后得到的有限元法解答能和P(xy)m一致，那么，稱這種元素能夠通過拼片試驗，而通過拼片試驗的元素將給出收一致，那么，稱這種元素能夠通過拼片試驗，而通過拼片試驗的元素將給出收斂的結(jié)果。注：斂的結(jié)果。注：P(xy)至少應(yīng)能代表各種等應(yīng)變狀態(tài)。至少應(yīng)能代表各種等應(yīng)變狀態(tài)。m如：如：拼片：拼片：9