“存在性”和“最值”的解決方法

1、1“存在性存在性”和“最值最值”的解決方法的解決方法一、關于存在性問題一、關于存在性問題1、什么樣的情況會引發(fā)出“存在性問題？從一個整體情況或一個變化過程中，判斷滿足某種特殊要求的情況是否存在，并在存在時將其尋找出來，這樣的問題就是“存在性”問題。如：題1如某月的月歷，像圖中那樣用方框框住4個數(shù)字，是否存在以下情況：使框住的4個數(shù)字和為100？為90？若存在，請寫出這4個數(shù)字，若不存在，請說明理由。題2如圖（1），四邊形是邊長為6的正方

2、形，動點P從ABCDA點P出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿邊向點運動，動點ABBQ從點出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿邊B運動，兩點同時出發(fā)，點P到達處B時兩點運動停止，記的運動時間為。QPt（1）是否存在時刻，使線段將正方形的周長分為相等的兩部分？若存在，求出的值；若不存在，tPQABCDt請說明理由。（2）是否存在時刻，，使線段將正方形的面積分為1：2兩部分，若存在，求出的值；若不存在，tPQABCDt請說明理由。（1）（2）題3如圖（2）

3、，在中，，在斜邊上是否存在點，使以為圓心，以為半徑的ABC????90CABOOOA圓，恰好與相切？BC若存在，請作出⊙（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由。O像以上三個題目都屬于“存在性”問題。2、“存在性存在性”問題的基本類型和解決方法問題的基本類型和解決方法“存在性”問題大體可分為兩類：Ⅰ、由數(shù)量關系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”數(shù)量方面的要求）；Ⅱ、由位置關系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”位

4、置方面的要求）。日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930BCCDDAADBCQPABC3解：（1）①當時，點在AB上，點在上，正方形的周長被分成的兩部分中，頂20??tPQBCABCDPQ點B所在部分顯然小于（正方形的周長），而另一部分大于（正方形的周長）。因此，?21ABCD?21ABCD不可能有二者相等的時刻；②當時，點在上，頂點B所在的部分的“周長”為，另

5、一部分的“周長”為42??tQCDtt3)6(??。)318(tt??令，解得。tt3)6(???)318(tt??3?t（或令12，也得同樣的結(jié)果）。tt3)6(???③當時，點在AB上，點在AD上，分成的兩部分中，含頂點B的部分的“周長”顯然64??tPQPQ大于（的周長），因此不存在二者相等的時刻。?21ABCD所以，存在，使將的周長分為相等的兩部分（其實，此時和分別為邊AB，的中點）3?tPQABCDPQCD。（2）①當時，，2

6、0??t36?ABCDS正方形?，ABCDPBQSttQBPBA正方形313)6(2121????????令，解得（與矛盾，舍去）。?36313)6(21????tt4221??tt2?t②當時，令或42??t??????3631636621????????ttSPBCQ梯形，分別解得（矛盾，舍去），。??????363263621?????tt23?t42??t44?t③當時，令，解得（舍去），（舍去）。64??t3631)318(2

7、121????????ttAQAPSAPQ25?t46?t所以，存在時刻和，使得把正方形的面積分為1：2的兩部分。2?t4?tPQABCD【說明說明】在，的運動過程中，正方形的周長與面積總是被分為兩部分，且兩部分的值在運動中變化著，現(xiàn)PQ對變化著的值提出特定的要求，以確定這種特殊情況是否真的出現(xiàn)在運動過程之中，這正是“存在性”問題的典型特征，而構造出相應的方程來求解。也真是普遍適用的方法。例3如圖（3），在直角梯形中，。動點從點ABCD