01第一講__極限及其相關(guān)問題

1、1第一講第一講函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)考綱要求考綱要求1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系.2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則.7.掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則

2、，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì).一、函數(shù)一、函數(shù)問題問題1如何求函數(shù)的定義域？如何求函數(shù)的定義域？答求定義域的步驟是：⑴根據(jù)運算要求（如分式要

3、求分母不等于零，開偶次方要求被開方數(shù)大于等于零，對數(shù)要求真數(shù)，反正弦要求等）列不等式（組）lnx0x?arcsinx1x?⑵解不等式（組）例⑴已知，，，求的定義域；2()exfx?[()]1fxx???()0x??()x?⑵設(shè)，，求的定義域.()sinfxx?2[()]1fxx???()x?問題問題2已知函數(shù)，如何求復(fù)合函數(shù)？()fx[()]fx?答用代入法，即以代替中的，就可以求出.()x?()fxx[()]fx?例⑴已知求；11()

4、01xfxx????????[()]ffx⑵設(shè)，求.20()0xxfxxx???????20()20xxgxxx????????[()]gfx問題問題3已知復(fù)合函數(shù)，如何求函數(shù)？[()]fx?()fx答用換元法，即令，代入，求出，就可以求出.()tx??[()]fx?()ft()fx例⑴已知，求；2(sin)sinxfxx?()fx⑵設(shè)，求.2211()fxxxx???()fx問題問題4已知函數(shù)，如何求其反函數(shù)？()yfx?答求反函數(shù)的

5、步驟是：先由解得，再交換，得其反函數(shù)()yfx?1()xfy??xy.1()yfx??3定義2當(dāng)時，有.0lim()xxfxA???00??????00xx????()fxA???定義3當(dāng)時，有.lim()xfxA????00X?????xX?()fxA???定義4當(dāng)時，有.0lim()xxfx????00M?????00xx????()fxM?以為例，表示自變量時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接0lim()xxfxA??0lim()xxfxA??

6、x?0x)(xf近一個常數(shù)，即與的距離可以任意小，也就是說，只要和接近到一A)(xfA()fxA?x0x定程度，就可以小于任何正數(shù)，即()fxA??當(dāng)時，有或者.00??????00xx????()fxA???()AfxA??????取，有，得局部有界性；1??1()1AfxA????若，取，有，得局部保號性；0A?2A??()022AAfxA????若，取，則有，(0)rA?Ar???()()fxAArr????由此可見，函數(shù)的極限反

7、映的是函數(shù)的局部性態(tài).0lim()xxfxA??2.左右極限左極限，右極限00()lim()xxfxfx????00()lim()xxfxfx????.000lim()()()xxfxAfxfxA???????問題問題9極限與左右極限有何關(guān)系？哪些情形下要求左右極限？答極限與左右極限的關(guān)系是：.000lim()()()xxfxAfxfxA???????求分段函數(shù)分段點的極限時，如果分段點兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同時，要求左右極限，此外，型極限要