統(tǒng)計學(xué)01

1、第一章 概率論基礎(chǔ)知識,授課教師：楊衛(wèi)華 博士,第一節(jié)隨機事件及其概率,基本概念,隨機試驗（Random Trial or Random Experiment）基本事件（Elementary Event）一次隨機試驗的可能結(jié)果，也稱基本隨機事件樣本空間（Sample Space）所有基本事件所組成的集合,基本概念,隨機事件（Random Event）一些基本事件所組成的集合不相容事件（Mutually Exclusive

2、 Events）在隨機試驗中，不能同時發(fā)生的幾個事件，或其交集為空集的幾個事件，稱為不相容事件。概率（Probability）對事件出現(xiàn)的可能性大小的一種嚴(yán)格的度量“嚴(yán)格”指：從無限次重復(fù)角度看，度量結(jié)果具有唯一性。,概率的含義,事件A的概率是一個介于0和1之間的一個值，用以度量試驗完成時事件A發(fā)生的可能性大小， 記為P(A)當(dāng)試驗的次數(shù)很多時，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發(fā)生次數(shù)(頻數(shù))的比例來逼近在相同條件下，重復(fù)

3、進行n次試驗，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為,例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù) n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右,主觀概率,主觀概率是指對一些無法重復(fù)的試驗，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，人為確定這個事件的概率。,某企業(yè)想投資—個新的項目，那么投資成功的可能性有多大呢？投資成功的概率為0.7，投資失敗的概率為0.3,第二節(jié)概率性質(zhì)與運算法則,概率的性質(zhì),非負(fù)性對任意事件A，

4、有0≤ P（A） ≤1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P (? )=1； P(? )=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B) =P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有 P(A1∪A2∪3…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An),事件的補及其概率,事件的補(complement) 事件A不發(fā)生的事件，稱為事件A的補事件(或稱逆事件)，記為?A 。它是樣本

5、空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合。,P(?A)=1- P(A),加法公式,加法公式 對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),兩個事件的并,兩個事件的交,,,條件概率(conditional probability),在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時事件A的條件概率，記為P(A|B

6、),事件B及其概率P (B),S,,事件 A?B及其概率P (A?B),事件A,事件B,,一旦事件B發(fā)生,,,,,,,,,條件概率(例題分析1),：設(shè) A =顧客購買食品， B =顧客購買其他商品 依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%的人既購買食品也購買其他商品。求： (1)已知某

7、顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率 (2)已知某顧客購買其他商品的條件下，也購買食品的概率,(1),(2),條件概率(例題分析2),【例】一家電腦公司從兩個供應(yīng)商處購買了同一種計算機配件，質(zhì)量狀況如下表所示 從這200個配件中任取一個進行檢查，求 (1) 取出的一個為正品的概率 (2) 取出的一個為供應(yīng)商甲的配件的概率

8、(3) 取出一個為供應(yīng)商甲的正品的概率 (4) 已知取出一個為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率,,條件概率(例題分析2),解：設(shè) A = 取出的一個為正品 B = 取出的一個為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件 (1) (2) (3) (4),乘法公式(M

9、ultiplication Theorem),用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎(chǔ)設(shè)A，B為兩個事件，若P(B)>0，則 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A),乘法公式(例題分析),【例】一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報紙的日報，而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為50%。求

10、某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率?,解：設(shè) A = 某住戶訂閱了日報 B = 某住戶訂閱了晚報 依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.75×0.5=0.375,獨立事件與乘法公式(independent events),若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B) ，則稱

11、事件A與事件B獨立，或稱獨立事件 .若兩個事件相互獨立，則這兩個事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即 P(AB)= P(A)· P(B)若事件A1,A2,?,An相互獨立，則 P(A1, A2, ?, An)= P(A1)· P(A2) · ? · P(An),獨立事件與乘法公式(例題分析),【例】假定我們是從兩個同樣裝有3個紅球2個

12、白球的盒子摸球。每個盒子里摸1個。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率 ?,解：設(shè) A = 從第一個盒子里摸到紅球 B = 從第二個盒子里摸到紅球 依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5 P(AB)=P(A)· P(B|A)=3/5×3/5=0.36,事件的獨立性與互斥,互斥事件一定是相互依賴(不獨立)的，但相互依賴的事件不一定是互斥的

13、。不互斥事件可能是獨立的，也可能是不獨立的，然而獨立事件不可能是互斥的。,全概率公式（Law of Total Probability),全概公式,A1…A5完備事件組，或樣本的一個劃分,B,,先找樣本劃分，再找條件概率,全概率公式(例題分析),【例】某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下數(shù)據(jù)：在倉庫中隨機取一個元件，求它是次品的概率？,,解：設(shè)B表示取到的是一個次品，Ai（i=1，2

14、，3）表示所取到的產(chǎn)品是第i家工廠提供的。A1，A2，A3是樣本空間的一個劃分，且有P（A1）=0.15， P（A2）=0.80， P（A3）=0.05， P（B∣A1）=0.02， P（B∣A2）=0.01， P（B∣A3）=0.03.全概公式：P（B）= P（B∣A1） P（A1）+ P（B∣A2） P（A2）+ P（B∣A3） P（A3）,貝葉斯公式,貝葉斯公式,P(Ak)被稱為事件A

15、k的先驗概率(prior probability)P(Ak|B)被稱為事件Ak的后驗概率(posterior probability),貝葉斯公式(例題分析),【例】某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為1/2，而他不知道正確答案時猜對的概率應(yīng)該為1/4?？荚嚱Y(jié)束后發(fā)現(xiàn)他答對了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？,解：設(shè) A = 該考生答對了 ，B = 該考生知道正確答案 依題意有：P(B)=1/

16、2； P(?B)=1-1/2 = 1/2 P(A|?B)=1/4 P(A|B)=1,第三節(jié)離散型隨機變量及其分布,隨機變量(random variables),,表征隨機試驗結(jié)果的變量所有基本事件所對應(yīng)的值【例】投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量,設(shè)：隨機變量為XX=0；X=1；X=2,隨機變量的取值可以是數(shù)值或字符串,,離散型隨機變量(discrete ran

17、dom variables),,隨機變量 X 取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來 x1 , x2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子,離散型隨機變量的概率分布（probability distribution),,列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示,P(X =xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)pi?0 ；,離散變量的累積概率(Cumulative

18、 Probability),累積概率：P（X≤x）,累積概率分布,離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(expected value),,離散型隨機變量X的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率pi乘積之和（也叫均值）；描述離散型隨機變量取值的集中程度；記為? 或E(X)；計算公式為,離散型隨機變量的方差(variance),,隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為? 2 或D(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算

19、公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為?,離散系數(shù),用來比較不同期望值的總體之間的離中趨勢。,離散系數(shù)=標(biāo)準(zhǔn)差除以期望離散系數(shù)越小，變異越小,例題：如果投資項目A的預(yù)期回報率為7%，標(biāo)準(zhǔn)差為5％；而投資項目B的預(yù)期回報率為12％，標(biāo)準(zhǔn)差為7％，試問哪個投資項目風(fēng)險較大?,根據(jù)離散系數(shù)判斷：A為7%/5%=0.714 B為12%/7%=0.583,離散變量聯(lián)合分布和邊緣分布,邊緣分布,,,聯(lián)合分布,,典型的離散變量分布,兩點分布

20、（ 0-1分布）,,一個離散型隨機變量X只取0和1兩個可能的值它們的概率分布為 或,二項分布(Binomial distribution),重復(fù)進行 n 次試驗，出現(xiàn)“成功”的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為X~B(n，p)設(shè)X為 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X 取k 的概率為,,二項分布(數(shù)學(xué)期望和方差),,數(shù)學(xué)期望 ?=E(X) = np方差 ? 2 =D(X

21、) = npq,0-1分布和二項分布的應(yīng)用,P（X=1）=p；P（X=0）=1-p；,,,,,應(yīng)用領(lǐng)域,P（X=x）=p；二項分布,0-1分布的兩個重要統(tǒng)計量,從0-1分布的總體中，隨機抽取n個樣本，X1，X2，…Xn，建立均值函數(shù),隨機變量 的均值 就是0-1分布的均值p,隨機變量 的方差 就是0-1分布方差的1/n,高收入人群的比例,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,總體,,高收入

22、判斷標(biāo)準(zhǔn)：月收入超過5000元，“是”X=1，“否”X=0,第一次抽樣m個人,X1=1,X2=0,Xm=1,抽樣n次后,0-1分布的“樣本和函數(shù)”,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,總體,,高收入判斷標(biāo)準(zhǔn)：月收入超過5000元，“是”X=1，“否”X=0,抽樣n個人,X1=1,X2=0,Xn=1,想知道這次抽樣中高收入的人有多少？,樣本和函數(shù),樣本和函數(shù)服從二項分布B(n，p),超幾何分布,設(shè)有N件產(chǎn)品，其

23、中有M件次品。現(xiàn)從中任取n件（n≤N），則在n件中所含次品件數(shù)x=m服從超幾何分布。,泊松分布(Poisson distribution),,1837年法國數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，1781—1840)首次提出 用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)某一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一定

24、路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù),泊松分布(概率分布函數(shù)),,?— 給定的時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e = 2.71828 k—給定的時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù),泊松分布(數(shù)學(xué)期望和方差),,數(shù)學(xué)期望 E ( X ) = ?方差 D ( X ) = ?,第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及

25、其分布,連續(xù)型隨機變量(continuous random variables),,可以取一個或多個區(qū)間中任何值 所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子,連續(xù)型隨機變量的概率分布,,它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率P(x1? X ?x2）用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述,注意,連續(xù)型隨機變量的累積概

26、率,F（X）=P（X≤x0）=p,概率密度函數(shù)(probability density function),,設(shè)X為一連續(xù)型隨機變量，x 為任意實數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件,f(x)不是概率,密度函數(shù),密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)f(x),概率密度函數(shù),,在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數(shù) x1 < x2，P(x1< X? x2)是該曲線下從x1 到 x2的面積,概

27、率是密度函數(shù)曲線下的面積,分布函數(shù) (distribution function),,連續(xù)型隨機變量的概率可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為,根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為,分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示,概率密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于 x0 的面積,連續(xù)型隨機變量的期望和方差,,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望方差,連續(xù)變量聯(lián)合分布和邊緣分布,聯(lián)合分布,X的邊緣分布,Y的邊緣分布,,連續(xù)

28、變量條件概率密度,相互獨立的連續(xù)變量,典型的連續(xù)變量分布,均勻分布(uniform distribution),若隨機變量X的概率密度函數(shù)為稱X在 [a ,b]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]數(shù)學(xué)期望和方差,均勻分布,均勻分布的分布函數(shù)為：,均勻分布(概率計算),隨機變量X在某取值范圍[a ,b]的任一子區(qū)間[c ,d]上取值的概率為 同樣有：,指數(shù)分布,用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進機

29、場的時間間隔。許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來近似。,指數(shù)分布,分布函數(shù),指數(shù)分布的期望為1/λ，方差為(1/λ)2,正態(tài)分布(normal distribution),由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作為描述誤差相對頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來描述 可用于近似離散型隨機變量的分布例如： 二

30、項分布經(jīng)典統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ),概率密度函數(shù),,f(x) = 隨機變量 X 的頻數(shù) ? = 正態(tài)隨機變量X的均值? ?= 正態(tài)隨機變量X的方差 ? = 3.1415926; e = 2.71828x = 隨機變量的取值 (-? < x < ?),? 和? 對正態(tài)曲線的影響,,正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì),圖形是關(guān)于x=?對稱鐘形曲線，且峰值在x= ?處均值?和標(biāo)準(zhǔn)差?一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數(shù)正態(tài)分布構(gòu)成一個

31、完整的“正態(tài)分布族” 均值?可取實數(shù)軸上的任意數(shù)值，決定正態(tài)曲線的具體位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。?越大，正態(tài)曲線越扁平；?越小，正態(tài)曲線越高越陡峭當(dāng)X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠不會與之相交正態(tài)隨機變量在特定區(qū)間上的取值概率由正態(tài)曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,正態(tài)分布的概率,概率是曲線下的面積!,,,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardize the

32、normal distribution),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),隨機變量具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布任何一個一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用,,對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z~N(0,1)，有P (a? Z?b)? ? ?b? ?? ?a?P (|Z| ?a)? 2? ?a? ?1對于負(fù)的 z ，可由? (-z)???? ?z?得到對于一般正