《現(xiàn)代控制理論第3版》-第5章

1、5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性,5.2 極點配置問題,5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題,5.4 系統(tǒng)解耦問題,5.5 狀態(tài)觀測器,5.6 利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng),5.1 線性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性,5.1.1狀態(tài)反饋,狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。,下（圖一）是一個多

2、輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)。,圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：,式中,簡記為,式中，v 為 維參考輸人；K為 維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對單輸入系統(tǒng)，K為 維行矢量。,（1）,把式(3)代人式(1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：,比較開環(huán)系統(tǒng) 與閉環(huán)系統(tǒng)

3、 可見，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。,（4）,（6）,5.1.2 輸出反饋,輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統(tǒng)輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)。,其中日為 維輸出反饋增益陣。對單輸出系統(tǒng)，H為 維列矢量。,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達

4、式可由式(7)代入式(9)得：,（10）,再把式(1 1)代入式(7)求得：,（12）,簡記 。由式(13)可見，通過選擇輸出反饋增益陣日也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。,輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：,若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：,存在下列關(guān)系：,（14）,（15）,從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的線性反饋形式在狀態(tài)觀測器獲得應(yīng)用。（

5、圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)：,比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC 與狀態(tài)反饋中的K 相當。但由于 ，所以H 可供選擇的自由度遠比K 小，因而輸出反饋只能相當于一種部分狀態(tài)反饋一只有當 時， ，才能等同于全狀態(tài)反饋。因此，在不增加補償器的條件下，輸出反饋的效果撮然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。但輸出反饋在技術(shù)實現(xiàn)上的方便性則足其突出優(yōu)點。,5.1.3 從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋

6、,加入從輸出y到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的反饋增益陣 ，可得閉環(huán)系統(tǒng)：,將式(19)中的y 代入 整理得：,（18）,（19）,（20）,若D =0，則,（21）,5.1.4 動態(tài)補償器,上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開環(huán)與閉環(huán)同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線性反饋。在更復(fù)雜的情況下，常常要通過引入一個動態(tài)子系統(tǒng)來改善系統(tǒng)性能，這種動態(tài)子系統(tǒng)，稱為動態(tài)補償器。,它與受控

7、系統(tǒng)的連接方式如圖5．4所示，其中圖a為串聯(lián)連接，圖b為反饋連接。,5.1.5 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性,定理5.1.1 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性。,但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。,證明 只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。,受控系統(tǒng)∑0和狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑0的能控判別陣為：,實際上，受控系統(tǒng)

8、 的傳遞函數(shù)為：,（25）,將∑0的能控標準I型代入上式，得：,（26）,引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,（27）,定理5.1.2 輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性。,證明 關(guān)于能控性不變。因為,（28）,若把(HC )看成等效的狀態(tài)反饋陣K，那么狀態(tài)反饋便保持受控系統(tǒng)的能控性不變。,關(guān)于能觀性不變。由能觀判別矩陣,定理5.2.1 采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)

9、任意配置極點的充要條件是∑0完全能控。,5.2 極點配置問題,5.2.1采用狀態(tài)反饋,證明 只證充分性。若∑0完全能控，通過狀態(tài)反饋必成立,式中， 為期望特征多項式。,（31）,（32）,式中， 為期望的閉環(huán)極點(實數(shù)極點或共軛復(fù)數(shù)極點)。,1)若∑0完全能控，必存在非奇異變換：,式中,受控系統(tǒng)∑0的傳遞函數(shù)為：,（34）,可求得對

10、 的閉環(huán)狀態(tài)空間表達式：,（36）,閉環(huán)特征多項式為：,式中,（37）,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,3)使閉環(huán)極點與給定的期望極點相符，必須滿足：,（38）,由等式兩邊 同次冪系數(shù)對應(yīng)相等．可解出反饋陣各系數(shù)：,于是得：,（39）,4)最后，把對應(yīng)于 的 ，通過如下變換，得到對應(yīng)于狀態(tài) 的 ：,這是由于 的緣故。,5.2.2 采用輸出

11、反饋,定理5.2.2 對完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng) ，不能采用輸出線性反饋來實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點的任意配置。,證明 對單輸入一單輸出反饋系統(tǒng) ，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,（40）,定理5.2.3 對完全能控的單輸入—單輸出系統(tǒng) 通過帶動態(tài)補償器的

12、輸出反饋實現(xiàn)極點任意配置的充要條件是：,5.2.3 采用從輸出到反饋,定理5.2.4 對系統(tǒng) 采用從輸出到 的線性反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充要條件是∑0完全能觀。,證明 根據(jù)對偶原理，如果 能觀．則 必能控，因而可以任意配置 的特征值

13、，，而 的特征值和 的特征值相同，又因為,因此，對 任意配置極點就等價于對A+Gc任意配置極點。于是設(shè)計 輸出反饋陣G 的問題便轉(zhuǎn)化成對其對偶系統(tǒng) 設(shè)計狀態(tài)反饋陣K的問題。具體步驟如下：,將系統(tǒng) 化成能觀標準Ⅱ型：,式中， 為能將系統(tǒng)化成能觀標準Ⅱ型的變換

14、矩陣。,（42）,(2)引入反饋陣 后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：,式中,（43）,和閉環(huán)特征多項式：,(3)由期望極點得期望特征多項式：,（44）,(4)比較 各對應(yīng)項系數(shù)，可解出：,和求狀態(tài)反饋陣K 的情況類似，當系統(tǒng)的維數(shù)較低時，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標準Ⅱ型，通過直接比較特征多項式系數(shù)米確定G 矩陣。,5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)

15、定問題,定理5.3.1對系統(tǒng) ，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的允要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,證明 (1)設(shè)系統(tǒng) 不完全能控，因此通過線性變換可將其按能控性分解為：,（1）,式中， 為能控子系統(tǒng)； 為不能控子系統(tǒng)。,(2)由于線性

16、變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有：,(3)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價?？紤]對 引人狀態(tài)反饋陣：,（2）,（3）,于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：,（4）,和閉環(huán)特征多項式：,（5）,定理5.3.2 系統(tǒng) 通過輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是

17、 ∑0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,證明 (1) 對進行能控性能觀性結(jié)構(gòu)分解，有：,比較式(5)與式(2)可見，引入狀態(tài)反饋陣 ，只能通過選擇 使 的特征值均具有負實部，從而使 ，這個子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。但 的選擇并不能影響 的特

18、征值分布。因此，僅當 的特征值均具有負實部，即不能控子系統(tǒng) 為漸近穩(wěn)的此時整個系統(tǒng) 才是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。,（6）,(2)因為 能控性和能觀性和能鎮(zhèn)定性 上完全等價，所以對 引入輸出反饋陣H ，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：,（7）,和閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式：,（8）,式(8)表明，當且僅當

19、 的特征值均具負實部時，閉環(huán)系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。定理得證。,定理5.3.3 對系統(tǒng) 采用從輸出到 反饋實現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是∑0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,證明 (1)將系統(tǒng) 進行能觀性分解，得：,式中，

20、 為能觀子系統(tǒng)； 為不能觀子系統(tǒng)。,（9）,(2)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價，考慮對 引入從輸出到 的反饋陣 ，于是有：,（11）,式(12)表明，引入反饋陣 ，只影響

21、 的特征值。,5.4 系統(tǒng)解耦問題,解耦問題是多輸入一多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分?其沒汁目的是尋求適當?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實現(xiàn)每一個輸出僅受相應(yīng)的一個輸入所控制，每一個輸入也僅能控制相應(yīng)應(yīng)的一個輸出，這樣的問題稱為解耦問題。,設(shè) 是一個 維輸入、 維輸出的受控系統(tǒng)，即,（1）,5.4.1 前饋補償器解耦,前饋補償器解耦的框圖如下圖所

22、示。,根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：,（3）,式中， 為串接補償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,（4）,顯然，只要 存在，則串聯(lián)補償器的傳遞函數(shù)矩陣為：,（5）,5.4.2 狀態(tài)反饋解耦,1.狀態(tài)反饋解耦中的幾個特征量,狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：,為了便于討論狀態(tài)反饋解耦的條件，首先定義幾個特征量。,1)定義 ，是滿足不等式：,且介于0到 之

23、間的一個最小整數(shù)l。,(6),式中， 為系統(tǒng)輸出矩陣c中的第i 行向量 ，因此， 的下標i 表示行數(shù)。,2. 能解耦性判據(jù),（7）,3. 積分型解耦系統(tǒng),定理5.4.2 若系統(tǒng) 是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng),是一個積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為：,（8）,（9）,閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,（11）,

24、式(11)表明，用式(9)和式(10)實現(xiàn)(K，F(xiàn))解耦的系統(tǒng)，其每個子系統(tǒng)都是相當于一個 階積分器的獨立子系統(tǒng)。,4．能解耦標準形,定理5.4.3 狀態(tài)反饋 使系統(tǒng) 解耦并任意配置極點的充要條件是，它們具有以下形式：,式中，,（12）,5. 狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計步驟,綜上所述，用狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)解耦的設(shè)計步驟可歸納如下：,1

25、)檢驗系統(tǒng)是否滿足式(7)所述充要條件。,2)按照式(9)和式(10)計算狀態(tài)反饋矩陣K和輸入變換陣F，將系統(tǒng)化成積分型解耦形式。,3)按照式(12)對各獨立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋，將其極點配置為期望值。,3) 的輸出 應(yīng)以足夠快的速度漸近于 ，即 應(yīng)有足夠?qū)挼念l帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據(jù)具體情況予以兼顧。,5.5 狀態(tài)觀測器,5.5.1 狀態(tài)觀測器定義

26、,設(shè)線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)的狀態(tài)矢量工不能直接檢測。如果動態(tài)系統(tǒng) 以∑0，的輸入 和輸出 作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出 主漸近于 則稱 的一個狀態(tài)觀測器。,根據(jù)上述定義，可得構(gòu)造觀測器的原則是：,1)觀測器 應(yīng)以∑0的輸入 和輸出 為其輸入量。,2)為滿足

27、 必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,4) 在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡量簡單。即具有盡可能低的維數(shù)，以便于物理實現(xiàn)：,5.5.2 狀態(tài)觀測器的存在性,定理5.5.1 對線性定常系統(tǒng)∑0=(A，B，C)，狀態(tài)觀測器存在的充要條件是∑0，的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。,證明 (1)設(shè)∑0=(A，B，C)不完全能觀，可進行能觀性結(jié)構(gòu)分解。這里，不妨設(shè)∑0=(A，B，C)已具有能觀性分解形式。即,（

28、13）,(2)構(gòu)造狀態(tài)觀測器 為狀態(tài) 的估值， 為調(diào)節(jié) 漸近于 的速度的反饋增益矩陣。于是得觀測器方程：,或,（14）,定義 為狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差方程：,（15）,由式(16)可知，通過適當選擇G1，，可使 的特征值均具負實部，因而有：,

29、(3)確定使 漸近于 的條件。,（18）,同理，由式（17)可得其解為：,（19）,成立時，才對任意 ，有：,由于 ，因此僅當,（20）,而 特征值均具有負實部等價。只有當∑0=(A，B，C)的不能觀子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時，才能使

30、 。定理得證。,（21）,5.5.3 狀態(tài)觀測器的實現(xiàn),定理5.5.2 若線性定常系統(tǒng) ∑0=(A，B，c) 完全能觀，則其狀態(tài)矢量 可由輸出 和輸入 進行重構(gòu)。,證明 將輸出方程t 逐次求導(dǎo)，代以狀態(tài)方程并整理可得：,（22）,將各式等號左邊用矢量z 表示，則有：,（23）,若系統(tǒng)完全能觀，rankN=n，則有：,（24）,根據(jù)下圖可得狀態(tài)觀測器方程：,5.5.4

31、 反饋矩陣G 的設(shè)計,為了討論狀態(tài)估值主趨近于狀態(tài)真值工的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：,（26）,可得狀態(tài)誤差方程：,（27）,式(28)是一個關(guān)于 的齊次微分方程，其解為：,（29）,5.5.5 降維觀測器,以上介紹的觀測器是建立在對原系統(tǒng)模擬基礎(chǔ)上的，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱全維觀測器。實際上，系統(tǒng)的輸出矢量y 總是能夠測量的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出矢量y 來直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)。,降維觀測

32、器設(shè)計分兩步進行。第一，通過線性變換把狀態(tài)按能檢測性分解成 ，其中 維 ，需要重構(gòu)，而m維 可由y直接獲得。第二，對 構(gòu)造 維觀測器。,可以證明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣c的秩是m，則它的m個狀態(tài)分量可由y直接獲得，那么，其余的 個狀態(tài)分量便只需用 維的降維觀測器進行重構(gòu)即可。降維觀測器的設(shè)計方法很多

33、，下面介紹其一般設(shè)計方法。,5.6 利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng),5.6.1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達式,下圖是一個帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。,設(shè)能控能觀的受控系統(tǒng)∑0=(A，B，C)為：,（1）,將式(3)代入式(1)和式(2)整理或直接由結(jié)構(gòu)圖得整個閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：,（4）,寫成矩陣形式為,（5）,這是一個 維的閉環(huán)控制系統(tǒng)。,5.6.2 閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性,1.閉環(huán)極點設(shè)計的分離

34、性,閉環(huán)系統(tǒng)的極點包括∑0直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)∑K=(A+BK，B，C)的極點和觀測器∑G 的極點兩部分。但二者獨立，相互分離。,令變換矩陣為：,（7）,經(jīng)線性變換后的系統(tǒng) 為：,（8）,或者展開成：,由于線性變換不改變系統(tǒng)的極點，因此，有：,2.傳遞函數(shù)矩陣的不變性,這個不變性表示用觀測器構(gòu)成的狀態(tài)反饋系統(tǒng)和狀態(tài)直接反饋系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。,（9）,（10）,3.觀測器反饋與直接狀