幾何光學(xué) (17)

1、第三講幾何光學(xué)從透鏡與反射鏡講起,大綱,幾何光學(xué)的概念透鏡分析近軸近似（Paraxial approximation）曲面折射用矩陣來計(jì)算成像條件薄透鏡方程式用矩陣來計(jì)算成像條件厚透鏡分析反射鏡平面鏡曲面鏡,大綱,3-1 幾何光學(xué)的概念3-2 如何用數(shù)學(xué)描述一道光線的前進(jìn)？3-3 以光線追蹤法看球面成像 – 矩陣幾何光學(xué)3-4 以矩陣幾何光學(xué)分析薄透鏡成像3-5 厚透鏡與反射鏡,3-1幾何光學(xué)的概念,幾何

2、光學(xué) (geometrical optics),適用於當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)小於光學(xué)系統(tǒng)的尺度時(shí)忽略光的波長(zhǎng)，以「光線」分析光傳播特性又稱為「射線光學(xué)」(ray optics)例如一般成像系統(tǒng)（相機(jī)，眼睛等）當(dāng)所分析的尺度接近光波長(zhǎng)時(shí)，則須考慮光的波動(dòng)特性，稱之為波動(dòng)光學(xué)例如光學(xué)顯微鏡的焦點(diǎn)在光學(xué)導(dǎo)論（二）中會(huì)提到,光學(xué)透鏡,可讓光偏折並成像的元件將穿透的能量在空間上重新分配是一個(gè)我們每天都在用的光學(xué)元件眼睛,凸透鏡光線匯聚,凹

3、透鏡光線發(fā)散,透鏡的成像概念,入射光在物體上散射透鏡就像進(jìn)行了相反的作用，把物體上散射的光重新匯聚到同一個(gè)點(diǎn)上 ? 成像,理想透鏡,由點(diǎn)光源發(fā)出不同方向的光經(jīng)過透鏡會(huì)匯聚到同一點(diǎn)成像與實(shí)物方向會(huì)上下左右相反但真實(shí)的成像系統(tǒng)並無法匯聚到一無限小點(diǎn),不完美的成像 – 失焦 (defocus),光有匯聚到同一點(diǎn)，但此點(diǎn)不在成像面上此即近視與遠(yuǎn)視的成因,不完美的成像 – 像差 (aberration),不同角度的光無法匯聚到同一點(diǎn)影

4、像變模糊,概念問題,請(qǐng)問當(dāng)凸透鏡成實(shí)像投影在屏幕上時(shí)，若將透鏡的右半部遮起來，影像會(huì)右半邊消失左半邊消失整個(gè)影像都消失右半邊變暗左半邊變暗整個(gè)影像變暗,課堂示範(fàn)實(shí)驗(yàn),用一個(gè)大透鏡成像用手把右半邊遮起來觀察影像的改變？順便觀察失焦與像差,課堂示範(fàn)實(shí)驗(yàn),觀察焦點(diǎn)與像差,完美的成像，不完美的焦點(diǎn) – 繞射 (diffraction),即使是完美的聚焦，其焦點(diǎn)也是有限大小影像變模糊,J. Min, J. Jang, D.

5、 Keum, S. W. Ryu, C. Choi, K. H. Jeong, and J. C. Ye, Scientific reports 3, 2075 (2013).,電子顯微鏡,光學(xué)顯微鏡,在目前的課程中,基於幾何光學(xué)加上近軸近似，我們暫時(shí)先將光學(xué)系統(tǒng)的聚焦視為完美失焦只需調(diào)整成像面位置即可為何成像焦點(diǎn)並不完美？像差：需要非近軸近似（第六講）繞射：需要波動(dòng)光學(xué)（下一期課程）,何謂近軸近似？,光軸：透鏡入射面上圓柱對(duì)

6、稱的中心軸完美的對(duì)光：入射光線平行且對(duì)稱於光軸近軸近似：入射光線很靠近光軸夾角很?。嚎捎孟铝薪品匠淌絹硖幚斫嵌萢,,距離很近：可忽略離軸光與透鏡交會(huì)點(diǎn)和光軸與透鏡交會(huì)點(diǎn)間的橫向距離差Dx （可將離軸光開始折射的位置視為與光軸和透鏡交會(huì)處同一位置）,a,Dx,隨堂測(cè)驗(yàn),請(qǐng)問造成近視會(huì)看不清楚的原因是失焦：視網(wǎng)膜的位置不在成像焦點(diǎn)上像差：角膜和水晶體的成像不完美繞射：角膜和水晶體的聚焦效果受繞射

7、 影響，無法聚焦到更小的點(diǎn)其他,3-2 如何用數(shù)學(xué)描述一道光線的前進(jìn)？,如何描述一道「光線」？,請(qǐng)問，若要描述一道光線，需要哪些物理參數(shù)的組合？光線離光軸的高度 y光線前進(jìn)的角度 a,,如何描述「光線」的行進(jìn)？,光線追蹤法將 (y, a) 看成一組座標(biāo)在均勻介質(zhì)中，y 變 a 不變?cè)诋a(chǎn)生折射界面，a 變 y 不變,例一：光線在均勻介質(zhì)中傳播,傳播距離為D,,,yi1: 入射光線高度ai1:入射光線角度yt1: 出射光

8、線高度at1:出射光線角度,近軸近似,,例二：光線在球面折射,在折射點(diǎn)上光的高度不會(huì)改變光的角度會(huì)按照斯涅爾定律轉(zhuǎn)變,,例二：光線在球面折射,入射角與反射角取決於法線角度法線角度和光的入射點(diǎn)高度有關(guān)該如何計(jì)算角度與高度的關(guān)係？,,例二：光線在球面折射,,近軸近似,聰明的解法,Ｒ是球面的曲率半徑,例二：光線在球面折射,,出射高度與入射高度的關(guān)係,出射角度與入射角度的關(guān)係，但和高度也有關(guān),,,例三：光線經(jīng)過球面聚焦,空氣中傳播D0

9、1距離，y 變 a 不變界面折射，a 變 y 不變介質(zhì)中傳播D12距離，y 變 a 不變,例三：光線經(jīng)過球面聚焦,空氣中傳播D01:界面折射:介質(zhì)中傳播D12 :,,,,三組方程式結(jié)合，可求得最後的光線高度與角度? 光線追蹤法,例三：光線經(jīng)過球面聚焦,,隨堂測(cè)驗(yàn),請(qǐng)問下列何者「不」正確光在空氣中傳播時(shí)，角度不會(huì)改變光在玻璃中傳播時(shí)，高度不會(huì)改變光在空氣玻璃界面折射，高度不會(huì)改變光在空氣玻璃界面折射，角度改變滿足斯

10、涅爾定律。,3-3 以光線追蹤法看球面成像 – 矩陣幾何光學(xué),以光線追蹤法看球面成像,說了這麼多數(shù)學(xué)，光線追蹤法到底可以告訴我什麼？例如，如果在球面前面有一個(gè)點(diǎn)光源，要如何求出這個(gè)點(diǎn)光源成像的位置？,球面折射成像 （物在光軸上）,成像的意義：所有由 yi0 發(fā)出來的光線，不論角度為何，都能會(huì)聚在 yt2 形成聚焦點(diǎn)。,平行光通過球面聚焦,球面的等效焦距,屈光力 P ＝,[單位: 屈光度diopter D, 1D = 1 m-1],

11、,球面聚焦成像,生活中有看過球面聚焦成像的例子嗎？我們的眼睛就是??！,Diopter (屈光度) vs. 近視度數(shù),近視度數(shù)/100 ＝ 屈光度近視100度意即需要一個(gè)焦距1 m的透鏡來校正猜猜看是凸透鏡或是凹透鏡？（解答在下一講）,球面折射成像（物在光軸外）,成像條件同上 由上一節(jié)例三的式子，可求出放大率,,,,,,球面折射成像（物在光軸外）,橫向距離的放大率角度的放大率,,,矩陣幾何光學(xué),以高度和角度的矩陣來表達(dá)方

12、程式解析光學(xué)系統(tǒng)非常方便,光在介質(zhì)中傳播,光在球面折射,屈光力,,,矩陣幾何光學(xué)範(fàn)例：分析球面折射成像,矩陣幾何光學(xué)範(fàn)例：分析球面折射成像,可用矩陣的組合求得基本光學(xué)元件的成像情況！,,光線追蹤法中的正負(fù)號(hào)定義,一般習(xí)慣，假設(shè)光線由左向右傳播則傳播距離向右為正。垂直光學(xué)軸方向，向上為正。角度定義為由光學(xué)軸出發(fā)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正對(duì)於向左突出的曲面，其曲率半徑為正。,,,,,隨堂測(cè)驗(yàn),請(qǐng)問在矩陣幾何光學(xué)中，哪一項(xiàng)代表屈光力？A

13、BCD,3-4 以矩陣幾何光學(xué)分析薄透鏡成像,透鏡成像過程分析,由點(diǎn)光源出發(fā) ? 空氣傳播 ＋ 折射 ＋透鏡傳播 ＋ 折射 ＋ 空氣傳播 ? 焦點(diǎn),透鏡成像分析：近軸光線追蹤法,先針對(duì)單一透鏡中的光路分析亦即求出連結(jié)入射與出射的矩陣,此處 R2 為負(fù)值,薄透鏡近似,可忽略透鏡中傳播距離只考慮前後介面的折射,,+,薄透鏡 ＋ 近軸光線追蹤法,+,薄透鏡成像方程式,由上一節(jié)已知,薄透鏡方程式,P: 屈光力,聚焦薄透鏡,焦點(diǎn)：無限

14、遠(yuǎn)物體（平行光）成像的位置焦距：透鏡和焦點(diǎn)間的距離,發(fā)散薄透鏡,光線屈折的角度和光線仍然與光學(xué)軸的距離成正比,但是此時(shí) P < 0，所以焦距 f < 0,成像在左邊，為虛像,,虛像：光線的延長(zhǎng)線反向匯聚成像,,折射面的屈光力,屈光力為正：出射光向內(nèi)收斂屈光力為負(fù)：出射光向外發(fā)散,光通過透鏡折射而聚焦,以高速影像拍攝光波前穿過透鏡的改變,Fig.8, N. Abramson, "Light-in-fli

15、ght recording: high-speed holographic motion pictures of ultrafast phenomena,“ Appl. Opt. 22, 215-232 (1983).,薄透鏡成像,以矩陣法分析：成像的條件即為由物體同一點(diǎn)發(fā)出的光，不論角度都應(yīng)該會(huì)聚到同一點(diǎn),薄透鏡成像,高斯透鏡方程式(透鏡成像條件),傳播 ＋ 透鏡 ＋ 傳播,傳播 ＋ 透鏡 ＋ 傳播,薄透鏡成像,角度放大率,隨堂

16、測(cè)驗(yàn),在薄透鏡成像的矩陣中共有四項(xiàng)，請(qǐng)問下列哪一個(gè)物理意義不正確？A 相當(dāng)於橫向距離放大率B = 0時(shí)可求出成像條件C 相當(dāng)於焦距D 相當(dāng)於角度放大率,ABCD 矩陣光學(xué),幾種薄透鏡成像情況,物在焦點(diǎn)外，成倒立實(shí)像MT < 0,物在焦點(diǎn)內(nèi)，成正立虛像MT > 1,凸透鏡,凹透鏡,物在焦點(diǎn)外，成正立虛像 0 < MT < 1,物在焦點(diǎn)內(nèi)，成正立虛像 0 < MT <

17、; 1,3-5 厚透鏡與反射鏡,厚透鏡,需要多考慮在透鏡中傳播,折射 ＋ 傳播 ＋ 折射,EFL等效焦距的意義,在厚透鏡中，光線有兩階段偏折可以等效看成一個(gè)在厚透鏡中「某處」的薄透鏡造成的偏折這個(gè)等效薄透鏡的位置就稱為 主平面 (Principal Plane),厚透鏡的聚焦：名詞定義,焦點(diǎn) (FP)：平行光入射匯聚的位置主點(diǎn) (PS)：等效薄透鏡所在的位置（主平面和光學(xué)軸的交點(diǎn)）等效焦距 (EFL)：由主點(diǎn)到焦點(diǎn)

18、的距離前側(cè)焦距 (FFL)：入射面的焦點(diǎn)到透鏡前表面的距離後側(cè)焦距 (BFL)：出射面的焦點(diǎn)到透鏡後表面的距離,厚透鏡的聚焦,平行光入射，可視為在第二主點(diǎn)折射，會(huì)穿過右側(cè)的第二焦點(diǎn)入射光通過第一焦點(diǎn)，可視為在第一主點(diǎn)折射,透鏡的主要點(diǎn) (Cardinal points),三對(duì)與成像有關(guān)的點(diǎn),From: DrBob http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_point_(optics),前側(cè)焦點(diǎn)和

19、後側(cè)焦點(diǎn) (focal points) F, F’前側(cè)主點(diǎn)和後側(cè)主點(diǎn) (principal points) P, P’前側(cè)節(jié)點(diǎn)和後側(cè)節(jié)點(diǎn) (nodal points) N, N’使入射光不偏折的點(diǎn),反射鏡,平面鏡成虛像,From: http://siro.moe.edu.tw/teach/query.php?action=read_content&p=824&d=1261828900,反射鏡的應(yīng)用,角度放大器偵

20、測(cè)小角度改變例如原子力顯微鏡,,http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_force_microscopy,如何用矩陣描述平面鏡？,在反射點(diǎn)上光的高度不會(huì)改變?nèi)肷浣牵椒瓷浣?,那如何用矩陣描述球面反射鏡呢？,∵凹面鏡的R為負(fù)值,挑戰(zhàn)自我,有了上述這些矩陣，請(qǐng)問你/妳可以按照推導(dǎo)透鏡成像的方式，推導(dǎo)出球面反射鏡成像的條件嗎？何時(shí)成實(shí)像，何時(shí)成虛像？,球面反射鏡參數(shù)正負(fù)號(hào),,凸面鏡成像,縮小虛像,Fro

21、m : Cronholm144http://en.wikipedia.org/wiki/Curved_mirror,凸面鏡成像,縮小虛像可看到較大範(fàn)圍常用於後照鏡或是公路轉(zhuǎn)彎處,From: Ildar Sagdejev http://en.wikipedia.org/wiki/Curved_mirror,凹面鏡成像,放大正立虛像物在焦距內(nèi),凹面鏡成像,放大實(shí)像物在一倍焦距與兩倍焦距間,凹面鏡成像,縮小實(shí)像物在兩倍焦距外,課堂

22、demo,有趣的小青蛙凹面鏡成實(shí)像,隨堂測(cè)驗(yàn),請(qǐng)問下列何者為誤厚透鏡可以成實(shí)像和虛像平面鏡只能成虛像凹面鏡只能成虛像凸面鏡只能成虛像,作業(yè),,作業(yè) 1,考慮一個(gè)曲率半徑為5公分的球形介面，內(nèi)部充滿水（折射率1.33），請(qǐng)問如何用矩陣描述這個(gè)介面的折射？,作業(yè) 1-1,承上題，若是從空氣端入射一道垂直球面且平行於光學(xué)軸的光束（相當(dāng)於光源在很遠(yuǎn)的地方），請(qǐng)問這道平行光聚焦的位置，離球面多遠(yuǎn)（以公尺為單位）？,作業(yè) 1-2,再承上題

23、，若有一點(diǎn)光源放在此球面空氣端的光學(xué)軸上，距離球面25公分，請(qǐng)問此點(diǎn)光源在水中成像的位置離球面多遠(yuǎn)（以公尺為單位）？,作業(yè) 2,考慮一個(gè)薄雙凸透鏡，其折射率為1.5，兩個(gè)介面的曲率半徑均為10公分。請(qǐng)問如何用矩陣描述這個(gè)透鏡的折射？,作業(yè) 2-1,承上題，若是從空氣端入射一道垂直透鏡且平行於光學(xué)軸的光束（相當(dāng)於光源在很遠(yuǎn)的地方），請(qǐng)問這道平行光聚焦的位置，離透鏡多遠(yuǎn)（以公尺為單位）？,作業(yè) 2-2,再承上題，若有一點(diǎn)光源放在此透鏡的光學(xué)

24、軸上，距離透鏡表面25公分，請(qǐng)問此點(diǎn)光源成像的位置離透鏡多遠(yuǎn)（以公尺為單位）？,作業(yè) 2-3,承上題，若此透鏡與光源都浸泡在水中（折射率1.33），請(qǐng)問此時(shí)成像的位置會(huì)變成離透鏡多遠(yuǎn)？（成像也在水中）（以公尺為單位）,作業(yè) 2-4,承上題，若此透鏡與光源都浸泡在折射率為1.7的油中，請(qǐng)問此時(shí)會(huì)成哪一種像？（成像也在油中）放大實(shí)像縮小實(shí)像放大虛像縮小虛像,作業(yè) 2-5,承上題，若此透鏡與光源都浸泡在折射率為1.7的油中，請(qǐng)問此時(shí)成